Вероятно, многие сталкивались с такой задачей в школе по геометрии. Я тоже в своё время решал подобные задачи и сегодня хочу рассказать вам о решении задачи нахождения наибольшей возможной площади MNPQ, представляющую собой четыре четырехугольника, которые образуется серединами сторон четырехугольника ABCD. Для начала вспомним, что середина отрезка ⎯ это точка, делящая его на две равные части. В нашей задаче, сторона AB делится на две равные части точкой E, сторона BC делится точкой F, сторона CD делится точкой G, а сторона DA делится точкой H. Чтобы найти наибольшую возможную площадь MNPQ, нужно понять, какими свойствами обладает четырехугольник ABCD, так как он и есть основа для MNPQ. Из условия задачи мы знаем, что диагонали перпендикулярны и их длины в сумме равны 8. То есть, можно сказать, что диагонали делают целый прямоугольник внутри ABCD. Теперь вернемся к MNPQ. Отыскав середины всех сторон ABCD и проведя линии их соединяющие, мы получим новый четырехугольник MNPQ, который имеет некоторую площадь. Идея решения состоит в том, что наибольшая площадь MNPQ будет, когда он окажется площадью прямоугольника, который образуется внутри ABCD. Мы можем показать это, доказав, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом.
Рассмотрим, например, точку E на стороне AB. Поскольку E ⎯ середина этой стороны, то отрезок AE будет равен отрезку EB. Аналогично, отрезок CF будет равен отрезку FD, отрезок DG будет равен отрезку GC, а отрезок AH будет равен отрезку HB. Теперь посмотрим на четырехугольник MNPQ. Точка M соединяет середину стороны AB с серединой стороны CD. Точка N соединяет середину стороны BC с серединой стороны DA. Итак, основы MNPQ (стороны MN и PQ) являются серединой̆ сторон ABCD, а боковым сторонам (стороны MP и NQ) равны соответствующие половинки диагоналей AC и BD. Теперь, если давайте проведем отрезки MP и NQ, то можно заметить, что они будут параллельны. Это происходит потому, что MN и PQ ⎯ равные стороны, и MP и NQ ⎯ окажутся равными отрезками, так как в пятиугольнике ABCEH все отрезки равны (AE EB, CF FD, DG GC, AH HB). Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом, и его площадь будет максимальна, когда он будет прямоугольником, то есть когда противоположные стороны будут равными. Эта черта MNPQ говорит о том, что площадь MNPQ будет равна площади прямоугольника, который можно построить внутри ABCD. Таким образом, для нахождения максимальной площади MNPQ, необходимо вычислить площадь прямоугольника внутри ABCD. Для этого можно воспользоваться формулой площади прямоугольника⁚ S a * b, где a и b ー длины сторон прямоугольника.
В нашей задаче у нас есть информация о длинах диагоналей ABCD. Зная, что диагонали перпендикулярны и их длины в сумме дают 8, мы можем представить ABCD как прямоугольник с длиной одной его стороны равной a, а длиной другой стороны равной (8 ー a). Таким образом, площадь прямоугольника будет⁚ S a * (8 ー a). Для нахождения максимальной площади, нужно найти максимальное значение выражениея a * (8 ⎯ a). Это можно сделать, используя метод дифференциации или метод геометрической интерпретации. Найдя значение a, можно получить значение второй стороны прямоугольника (8 ー a) и найти площадь прямоугольника, которая и будет максимальной площадью MNPQ. Таким образом, мы можем сделать вывод о том, что наибольшая возможная площадь MNPQ будет, когда этой фигурой окажется прямоугольник внутри ABCD, а процесс нахождения этого прямоугольника сводится к поиску максимума функции a * (8 ⎯ a);