Привет! Сегодня я расскажу о разложении выражения (√2 √5^10)^300 и сколько рациональных слагаемых содержится в нем.Для начала, разложим выражение по биному Ньютона. Бином Ньютона представляет собой формулу для раскрытия скобок в степени n. В данном случае, n равно 300.Используя формулу бинома Ньютона, разложим (√2 √5^10)^300 следующим образом⁚
(√2 √5^10)^300 C(300, 0)*(√2)^(300-0)*(√5^10)^0 C(300, 1)*(√2)^(300-1)*(√5^10)^1 C(300, 2)*(√2)^(300-2)*(√5^10)^2 ... C(300, 300)*(√2)^0*(√5^10)^300
Где C(n, k) ─ биномиальный коэффициент, равный n! / (k!(n-k)!), где n! ⸺ факториал n. Теперь оценим, сколько слагаемых из этого разложения являются рациональными. Рациональные числа ⸺ это числа, которые могут быть представлены в виде дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами. В каждом слагаемом разложения (√2 √5^10)^300, мы будем иметь множители вида (√2)^a√(5^10)^b, где a и b ─ целые числа. Рассмотрим множитель (√2)^a√(5^10)^b. Заметим, что (√2)^a будет рациональным числом только при условии, что a ─ четное число. (√2)^a можно представить как a/2 в виде десятичной дроби. Таким образом, (√2)^a√(5^10)^b будет рациональным числом только если a ⸺ четное число. Теперь рассмотрим множитель √(5^10)^b. Это выражение представляет собой квадратный корень из десятого степеня числа 5. Мы знаем, что квадратный корень из рационального числа будет рациональным только если это число является полным квадратом.
Если b ⸺ четное число, то √(5^10)^b будет рациональным числом, так как 5^10 ⸺ полный квадрат. Однако, если b ⸺ нечетное число, то √(5^10)^b будет иррациональным числом.
Таким образом, в каждом слагаемом разложения (√2 √5^10)^300, множитель (√2)^a√(5^10)^b будет рациональным только если a и b ─ четные числа.Теперь посчитаем количество рациональных слагаемых в разложении (√2 √5^10)^300. Это количество будет равно количеству комбинаций чисел a и b, таких что a и b ⸺ четные числа и a b300.Для подсчета этого количества воспользуемся формулой сочетаний⁚
C(n, k) n! / (k!(n-k)!)
В данном случае, n300 и k150, так как a и b должны быть одновременно четными, и их сумма равна 300. Таким образом, количество рациональных слагаемых в разложении (√2 √5^10)^300 равно C(300, 150).Подсчитаем это значение⁚
C(300٫ 150) 300! / (150!(300-150)!)
Сократим факториалы и вычислим значение⁚
C(300, 150) 300! / (150!(300-150)!) (300*299*298*...*151) / (150*149*...*1)
Таким образом, количество рациональных слагаемых в разложении (√2 √5^10)^300 равно числу C(300٫ 150).
Надеюсь, эта информация была полезной и ясной. Если у тебя остались еще вопросы, не стесняйся задать их!