Я помню, как интересно было решать задачи на координатной плоскости в школе․ Вот и сейчас я с удовольствием вспомню свой опыт и помогу вам разобраться с задачей на поиск длин сторон треугольника, уравнениями сторон и их угловыми коэффициентами, а также с углами и уравнением высоты и медианы треугольника․ Давайте начнем!1) Длины сторон треугольника АВС․ Для этого нам понадобится формула вычисления расстояния между двумя точками на плоскости⁚
d sqrt((x2 ⎻ x1)^2 (y2 ⎯ y1)^2),
где (x1, y1) и (x2, y2) ⎻ координаты двух точек․AB sqrt((14 ⎻ 2)^2 (-4 ⎻ 5)^2) sqrt(144 81) sqrt(225) 15,
BC sqrt((18 ⎻ 14)^2 (18 ⎯ -4)^2) sqrt(16^2 22^2) sqrt(256 484) sqrt(740) ≈ 27․18,
AC sqrt((18 ⎻ 2)^2 (18 ⎻ 5)^2) sqrt(16^2 13^2) sqrt(256 169) sqrt(425) ≈ 20․62․Таким образом, длины сторон треугольника равны⁚ AB ≈ 15, BC ≈ 27․18, AC ≈ 20․62․2) Уравнения сторон треугольника․ Уравнение прямой, проходящей через две точки в общем виде имеет вид⁚
y ⎯ y1 k(x ⎯ x1),
где (x1, y1) ⎻ координаты одной из точек, k ⎻ угловой коэффициент прямой․Уравнение стороны AB⁚
k_AB (y2 ⎻ y1)/(x2 ⎯ x1) (-4 ⎻ 5)/(14 ⎻ 2) -9/12 -3/4٫
AB⁚ y ⎯ 5 (-3/4)(x ⎯ 2)․Уравнение стороны BC⁚
k_BC (y3 ⎯ y2)/(x3 ⎻ x2) (18 ⎯ (-4))/(18 ⎯ 14) 22/4 11/2,
BC⁚ y 4 (11/2)(x ⎻ 14)․3) Угол В․ Для вычисления угла между двумя прямыми воспользуемся формулой⁚
tg(α) |(k1 ⎯ k2)/(1 k1*k2)|,
где k1 и k2 ⎻ угловые коэффициенты прямых․Угол В между сторонами AB и BC⁚
tg(В) |(-3/4 ⎻ 11/2)/(1 (-3/4)*(11/2))| 1․4) Уравнение высоты СД и ее длина․ Высота треугольника ⎯ это отрезок, проведенный из вершины треугольника и перпендикулярный противоположной стороне․Уравнение высоты СД⁚
Учитывая, что сторона AB лежит на линии y ⎯ 5 (-3/4)(x ⎻ 2), то высота СД будет перпендикулярна стороне AB и угловой коэффициент прямой будет k_SD 4/3․Уравнение высоты СД⁚ y ⎯ 18 (4/3)(x ⎯ 18)․Длина высоты СД рассчитывается по формуле⁚
h |k_SD * AC|,
h |(4/3) * sqrt(425)| ≈ 23․01․5) Уравнение медианы АЕ и координаты точки К․ Медиана треугольника ⎻ это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны․Уравнение медианы АЕ⁚
Медиана АЕ проведена из точки A(2,5) и проходит через середину стороны BC․ Середина стороны BC имеет координаты M((14 18)/2, (-4 18)/2) (16, 7)․Уравнение медианы АЕ проходит через две точки A(2,5) и M(16,7)․ Используем формулу⁚
y ⎻ y1 k(x ⎻ x1)․Уравнение медианы АЕ⁚ y ⎻ 5 (7-5)/(16-2)(x-2),
y ⎻ 5 2/14(x ⎯ 2)․Координаты точки К ⎻ пересечения медианы АЕ и высоты СД․ Подставим уравнения медианы и высоты⁚
2/14(x ⎯ 2) (4/3)(x ⎯ 18),
2(x ⎻ 2) (4/3)(3x ⎯ 54),
2x ⎻ 4 4x ⎯ 72٫
2x ⎯ 4x -72 4,
-2x -68٫
x 34․Подставим найденное значение x в уравнение медианы АЕ⁚
y ⎻ 5 2/14(34 ⎻ 2),
y ⎻ 5 2/14 * 32,
y ⎯ 5 4․57,
y 9․57․
Точка К имеет координаты K(34, 9․57)․6) Уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ․ Уравнение прямой, параллельной другой прямой, имеет такой же угловой коэффициент․Уравнение прямой, проходящей через точку К и параллельной стороне АВ⁚
k_AB -3/4,
y ⎻ 9․57 (-3/4)(x ⎻ 34)․
Теперь у нас есть все необходимые уравнения и координаты точек, чтобы составить чертеж треугольника АВС на координатной плоскости․