Мой опыт решения задачи о двух касающихся окружностях
Долгое время я сталкивался с геометрическими задачами, и одной из самых интересных и сложных задач была задача о двух окружностях, касающихся внешним образом и вписанных в угол равный 60°. В этой статье я поделюсь своим опытом решения данной задачи.
Для начала, вспоминаем основные свойства вписанных и касающихся окружностей. Если окружности вписаны в угол, то точка касания окружностей и вершина угла лежат на одной прямой, а расстояние от точки касания до вершины угла равно сумме радиусов окружностей.Дано, что радиус меньшей окружности равен 5. Обозначим его как r1. Нам нужно найти радиус большей окружности, обозначим его как r2.Используя свойство параметра угла в треугольнике, мы можем записать следующее равенство⁚
r1 r2 d*tg(α/2)٫
где d ― расстояние между центрами окружностей, α ― угол вписания (в данном случае равный 60°);Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов⁚
d r1 r2.Подставляя это равенство в предыдущее уравнение, получаем⁚
(r1 r2) * tg(α/2) r2.Решим это уравнение относительно r2⁚
r2 * tg(α/2) r2 ― r1٫
r2 * tg(30°) r2 ― 5.Далее, приведём оба слагаемых к общему знаменателю⁚
r2 * (1/√3) r2 ― 5.Умножим обе части уравнения на √3⁚
r2 √3 * (r2 ⎻ 5).Раскроем скобки⁚
r2 √3 * r2 ― 5√3.Приравняем коэффициенты при r2⁚
1 √3 ― 5√3.Выразим r2⁚
r2 1 / (1 ― √3).Подставим значения и найдём радиус большей окружности⁚
r2 1 / (1 ― √3) ≈ 10.85.Таким образом, радиус большей окружности равен приблизительно 10.85.
Я надеюсь, что мой опыт решения данной задачи будет полезен вам!