Четырехугольник ABCD, вписанный в окружность Ω, представляет собой фигуру, в которой все четыре вершины лежат на окружности. В данной задаче нам даны дополнительные условия, а именно⁚
— Точка M является серединой дуги AD окружности Ω, не содержащей точки B и C.
— Отрезки BM и CM пересекают отрезок AD в точках P и Q соответственно.
— Известно, что отношение AP⁚PQ⁚QD равно 1⁚7⁚2.
Наша задача состоит в вычислении значения выражения (AC⋅BD)⁚(AB⋅CD).Для решения этой задачи, я сам опробовал данное условие на практике и провел расчеты. Вот как я это сделал⁚
1. Поскольку точка M является серединой дуги AD, то отрезок AM делит дугу AD пополам. Таким образом, точка M является серединой отрезка AM.
2. Используя данное отношение AP⁚PQ⁚QD1⁚7⁚2, мы можем назвать отношения длины отрезков следующим образом⁚
AP x, PQ 7x, и QD 2x.3. Так как точка M является серединой отрезка AM, то AM 2x.
4. Определение точек В и С в этой задаче не предоставляется. Тем не менее, в данном случае нам не требуется знать значения длины отрезка BC.
5. Заметим, что треугольники BMA и CMD подобны, так как у них имеются равные углы BMА и CMD (они оба равны 90 градусам) и общий угол M.
6. Следовательно, отношение длин сторон треугольников BMA и CMD равно отношению их гипотенуз⁚ BM⁚CM BA⁚CD.
7. Заменим отношение длин сторон гипотенуз на значения, полученные в п. 2 и п. 3⁚
BM⁚CM AP⁚PQ⁚QD x⁚7x⁚2x.8. Теперь можем записать отношение длин сторон треугольников BMA и CMD⁚
BM⁚CM x⁚7x⁚2x.9. Используя теорему Пифагора, можно выразить длины сторон треугольников⁚
BM sqrt(x^2 (7x)^2) sqrt(50x^2) 5x*sqrt(2),
CM sqrt((2x)^2 (7x)^2) sqrt(53x^2) x*sqrt(53).10. Заменим полученные значения длин сторон в выражении (AC⋅BD)⁚(AB⋅CD)⁚
(AC⋅BD)⁚(AB⋅CD) (2x⋅5x*sqrt(2))⁚(x⋅7x*sqrt(53)) (10x^2*sqrt(2))⁚(7x^2*sqrt(53)).11. Выражение (10x^2*sqrt(2))⁚(7x^2*sqrt(53)) дает нам значение sqrt(2)/sqrt(53)٫ поскольку x^2 сокращаются.
Таким образом, я решил данную задачу и получил значение выражения (AC⋅BD)⁚(AB⋅CD) равное sqrt(2)/sqrt(53).