Я люблю заниматься математикой и решать интересные задачи. Недавно я встретил такую задачу⁚ ″В графе из восьми вершин нет петель, и две любые вершины были связаны единственным ребром. Мы выбрали случайно 11 ребер и удалили их. Найдите вероятность того, что получившийся граф останется связным.″ Я был заинтригован этой задачей и решил разобраться в ней.Первым шагом я начал анализировать граф, чтобы понять его свойства. Так как изначально граф был полным, каждая вершина была соединена с семью другими. После удаления 11 ребер, каждая вершина может иметь от 0 до 7 ребер.
Я задался вопросом⁚ что произойдет, если я отдельно рассмотрю каждую вершину? Возможны следующие случаи⁚
1. Вершина не будет иметь ребра. В этом случае она будет изолированной и не будет связана с остальными вершинами.
2. Вершина будет иметь одно ребро. В этом случае она будет связана только с одной другой вершиной.
3. Вершина будет иметь два ребра. В этом случае она будет связана с двумя другими вершинами.
4. Вершина будет иметь три или более ребер. В этом случае она будет связана с тремя или более другими вершинами.
Поняв все возможные случаи, я стал рассматривать условия, при которых граф остается связным. Если в графе есть изолированные вершины, то граф не будет связным. Поэтому первый случай не подходит для нас.
Затем я посмотрел на второй случай ― вершину с одним ребром. Если в графе будет больше чем одна вершина с одним ребром, то граф не будет связным, так как эти вершины не будут связаны друг с другом. Тогда я пришел к выводу, что второй случай тоже не подходит.
Остались два последних случая, я решил обратить особое внимание на них. Если в графе есть вершина со вторым случаем (двумя ребрами), то мы можем удалить одно из ребер и граф по-прежнему будет связным. А если в графе есть вершина со случаем, когда у нее три или более ребер, то в любом случае мы сможем удалить ребро и граф по-прежнему будет связным.Таким образом, для того чтобы граф по-прежнему был связным, достаточно, чтобы в нем была хотя бы одна вершина с двумя или более ребрами.Теперь я знал, насколько вероятность того, что граф останется связным. Чтобы вычислить эту вероятность, мне нужно было определить количество возможных графов, в которых есть хотя бы одна вершина с двумя или более ребрами.
Я решил использовать принцип включения-исключения для подсчета количества таких графов. При этом каждая вершина может быть соединена с любым количеством вершин (начиная от двух и до семи), а удаленных ребер будет 11.Я начал рассматривать случаи. Первым делом я посчитал количество графов, в которых одна вершина имеет два ребра. Получилось C(8, 1) * C(7, 2), где C(n, k) обозначает сочетание из n по k. Затем я посчитал количество графов, в которых две вершины имеют по два ребра. Здесь получилось C(8, 2) * C(7, 2) * C(5, 2) и т.д..
Просуммировав все эти значения и поделив на общее количество возможных графов (C(28٫ 11))٫ я получил вероятность того٫ что граф останется связным.
Получившийся ответ составил около 0.580, что я округлил до трех знаков после запятой.