В трапеции ABCD через точку О проведен отрезок MN, параллельный основаниям AD и BC. Нам нужно доказать, что этот отрезок делится пополам в точке О.
Для начала обозначим точку пересечения диагоналей как О. Также пусть AD x и BC y.
Так как MN || AD и MN || BC, то треугольники AON и BOM подобны треугольнику OCD (по треугольникам с параллельными сторонами и точкой пересечения диагоналей).Предположим, что отрезок MO делит отрезок ON пополам в точке О. Проверим это по формулам.По теореме Ван Обеля, отношение длин отрезков, на которые диагональ делит другую диагональ, равно отношению длин оснований трапеции⁚
MO/ON AD/BC
Подставим известные значения AD x и BC y⁚
MO/ON x/y
Так как мы предположили, что отрезок MO делит отрезок ON пополам, то MO ON. Подставим это в предыдущее уравнение⁚
MO/MO x/y
1 x/y
Таким образом, мы доказали, что отрезок MO делится пополам в точке О, а именно MO ON.
Теперь перейдем ко второй части задачи — определим длину отрезков MO и ON, если AD 11 см и BC 5 см.
Из предыдущего равенства MO ON, мы знаем, что отрезки MO и ON имеют одинаковую длину.Таким образом, MO ON (AD BC)/2 (11 5)/2 16/2 8 см.Ответ⁚
1. MO ON 8 см.
2. Длина отрезка MN также равна 8 см.