Привет! Сегодня я расскажу о некоторых операциях на множестве действительных чисел R и определю, какие из них являются ассоциативными․1․ Операция f(x, y) (x – y)²⁚
Для проверки ассоциативности нужно сравнить значения выражений (x ⎻ y)² и ((x ⏤ y)² ⏤ z)², а также ((x ⎻ y)²)² ⎻ z; Выполним эти действия⁚
(x ⏤ y)² ⏤ z x² ⎻ 2xy y² ⎻ z
((x ⏤ y)² ⏤ z)² (x² ⏤ 2xy y² ⎻ z)² x⁴ ⏤ 4x³y 6x²y² ⎻ 4xy³ y⁴ ⏤ 2x²z 4xyz ⎻ 2y²z z²
((x ⎻ y)²)² ⏤ z (x² ⎻ 2xy y²)² ⎻ z x⁴ ⎻ 4x³y 6x²y² ⏤ 4xy³ y⁴ ⏤ z
После сравнения видно, что выражение ((x ⏤ y)² ⎻ z)² не равно ((x ⏤ y)²)² ⏤ z․ Значит, данная операция не является ассоциативной․2․ Операция f(x, y) x²y²⁚
Ассоциативность этой операции можно проверить, сравнив значения выражений (x²y²)² и x²(y²)²․ Выполним эти действия⁚
(x²y²)² x⁴y⁴
x²(y²)² x²y⁴
После сравнения видно, что выражение (x²y²)² не равно x²(y²)²․ Значит, данная операция не является ассоциативной․3․ Операция f(x, y) (x – y)³⁚
Чтобы проверить ассоциативность этой операции, сравним значения выражений (x ⏤ y)³ и ((x ⎻ y)³ ⎻ z)³, а также ((x ⏤ y)³)³ ⎻ z․ Выполним эти действия⁚
(x ⏤ y)³ ⏤ z x³ ⎻ 3x²y 3xy² ⏤ y³ ⏤ z
((x ⎻ y)³ ⏤ z)³ (x³ ⎻ 3x²y 3xy² ⎻ y³ ⏤ z)³ x⁹ ⎻ 9x⁸y 27x⁷y² ⎻ 45x⁶y³ 45x⁵y⁴ ⎻ 27x⁴y⁵ 9x³y⁶ ⎻ y⁹ ⎻ 3x⁶z 9x⁵yz ⎻ 9x⁴y²z ⏤ 3x³y³z 9x²y⁴z ⏤ 9xy⁵z y⁶ ⏤ 3x³z² 9x²yz² ⏤ 9xy²z² y³z² ⏤ 3xyz³ y²z³ ⎻ z³
((x ⎻ y)³)³ ⎻ z (x³ ⎻ 3x²y 3xy² ⏤ y³)³ ⎻ z x⁹ ⎻ 9x⁸y 27x⁷y² ⏤ 45x⁶y³ 45x⁵y⁴ ⎻ 27x⁴y⁵ 9x³y⁶ ⎻ y⁹ ⎻ 3x³z 9x²yz ⎻ 9xy²z y³z ⏤ 3xyz² y²z² ⎻ z³
После сравнения видно, что выражение ((x ⏤ y)³ ⎻ z)³ не равно ((x ⏤ y)³)³ ⏤ z․ Значит, данная операция не является ассоциативной․
Итак, из трех рассмотренных операций на множестве действительных чисел R ни одна не является ассоциативной․ Важно понимать, что ассоциативность операции означает, что результат вычисления не зависит от порядка, в котором происходят операции․