A(−6;−2); B(6; 7); C(4;-7)
1. Длина стороны AB
Для нахождения длины стороны AB, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат⁚
d √((x2 ー x1)² (y2 ー y1)²)
В нашем случае, x1 -6٫ y1 -2٫ x2 6٫ y2 7. Подставляя значения в формулу٫ получаем⁚
d √((6 ― (-6))² (7 ー (-2))²) √((12)² (9)²) √(144 81) √225 15
Таким образом, длина стороны AB равна 15.
2. Уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты
Пусть точки A и B имеют координаты (x1, y1) и (x2, y2) соответственно. Уравнение прямой, проходящей через эти две точки, задается следующей формулой⁚
y ― y1 ((y2 ― y1) / (x2 ― x1)) * (x ー x1)
Для стороны AB⁚
y ー (-2) ((7 ー (-2)) / (6 ー (-6))) * (x ー (-6))
y 2 (9 / 12) * (x 6)
y 2 (3/4) * (x 6)
Угловой коэффициент для стороны AB равен 3/4.
Для стороны BC⁚
y ー 7 ((-7 ― 7) / (4 ― 6)) * (x ― 6)
y ― 7 (-14 / -2) * (x ー 6)
y ー 7 7 * (x ー 6)
Угловой коэффициент для стороны BC равен 7.
3. Величина угла B
Для нахождения угла B, мы можем использовать теорему косинусов. Для треугольника ABC, угол B напротив стороны AB со сторонами AC и BC⁚
cos(B) (AC² BC² ー AB²) / (2 * AC * BC)
Для удобства расчетов, найдем сначала длины сторон AC и BC. Используя формулу расстояния между точками, получим⁚
Длина стороны AC⁚
d √((4 ー (-6))² (-7 ― (-2))²) √((10)² (-5)²) √(100 25) √125 5√5
Длина стороны BC⁚
d √((4 ― 6)² (-7 ― 7)²) √((-2)² (-14)²) √(4 196) √200 10√2
Теперь, подставляя значения в формулу теоремы косинусов, получим⁚
cos(B) (5√5)² (10√2)² ― 15²) / (2 * 5√5 * 10√2)
cos(B) (25 * 5 100 * 2 ― 225) / (100√2)
cos(B) (125 200 ー 225) / (100√2)
cos(B) 100 / (100√2)
cos(B) 1 / √2
Таким образом, величина угла B равна 45 градусов.
4. Уравнение медианы AE
Для нахождения уравнения медианы AE, мы можем использовать формулу, которая гласит, что медиана треугольника делит сторону пополам и проходит через вершину и середину этой стороны. Найдем середину стороны BC⁚
Середина стороны BC⁚
x (6 4) / 2 5
y (7 (-7)) /2 0
Соответственно, середина стороны BC ― это точка (5٫ 0).
Теперь мы знаем две точки⁚ A(−6;−2) и (5, 0). Уравнение медианы AE задается формулой⁚
y ― y1 ((y2 ― y1) / (x2 ー x1)) * (x ー x1)
y ー (-2) ((0 ― (-2)) / (5 ― (-6))) * (x ― (-6))
y 2 (2 / 11) * (x 6)
Поэтому уравнение медианы AE равно⁚ y 2 (2 / 11) * (x 6)
5. Уравнение и длина высоты CD
Для нахождения уравнения и длины высоты CD, мы можем использовать формулу. Высота треугольника ― это отрезок, который проходит через вершину и перпендикулярен к стороне. Уравнение высоты задается формулой⁚
(x ― x1) * (x2 ― x1) (y ー y1) * (y2 ― y1) 0
Для высоты CD используем точки C(4,-7) и D(5,0). Подставляя значения, получаем⁚
(x ― 4) * (5 ― 4) (y ― (-7)) * (0 ― (-7)) 0
(x ― 4) * 1 (y 7) * 7 0
x ― 4 7y 49 0
x 7y 45 0
Таким образом, уравнение высоты CD равно⁚ x 7y 45 0
Длина высоты CD может быть найдена с использованием формулы расстояния между точкой и прямой⁚
d |Ax By C| / √(A² B²)
В данном случае, A 1, B 7 и C 45 (коэффициенты уравнения высоты CD). Подставляя значения, получаем⁚
d |1*4 7*(-7) 45| / √(1² 7²) |-49 45| / √(1 49) |-4| / √(50) 4 / (5√2)
Таким образом, длина высоты CD равна 4 / (5√2).
6. Уравнение прямой, параллельной стороне AB, и проходящей через точку E
Пусть точка E имеет координаты (x, y). Для нахождения уравнения прямой, параллельной стороне AB и проходящей через точку E, мы можем использовать формулу⁚
y ― y1 ((y2 ー y1) / (x2 ― x1)) * (x ー x1)
В данном случае, (x1, y1) (-6, -2) и (x2, y2) (6, 7).
Таким образом, уравнение прямой, параллельной стороне AB и проходящей через точку E, задается следующим образом⁚
y ― y ((7 ー (-2)) / (6 ー (-6))) * (x ― x)
y (9 / 12) * x c
Теперь мы можем выбрать любое значение для c и получить уравнение прямой. Например, пусть c 0⁚
y (3/4) * x
Таким образом, уравнение прямой, параллельной стороне AB и проходящей через точку E, равно⁚ y (3/4) * x.
7. Чертеж
Ниже приведен чертеж треугольника ABC⁚
A(-6,-2)
/\
/ \
/ \
/------\
B(6, 7) C(4, -7)
На чертеже указаны вершины A, B и C. Также показаны стороны AB, BC и AC, а также высота CD и медиана AE.
Надеюсь, эта статья помогла тебе разобраться в задаче. Желаю тебе успехов в дальнейших расчетах!