Недавно я столкнулся с интересной математической концепцией, которая называется сингулярным разложением. Это понятие позволяет анализировать геометрические изменения, которые происходят при отображении векторов из одного векторного пространства в другое. Так что, давайте разберемся, какие утверждения верные, а какие ложные.Первое утверждение гласит⁚ ″Компоненты сингулярного разложения показывают геометрические изменения при отображении линейным оператором A множества векторов из векторного пространства в себя или в векторное пространство другой размерности″. Оказывается, это верное утверждение. Компоненты сингулярного разложения, такие как сингулярные числа и сингулярные векторы, действительно позволяют описать геометрические изменения при отображении векторов линейным оператором A.
Второе утверждение гласит⁚ ″Сингулярное разложение матрицы M позволяет вычислять собственные числа данной матрицы, а также собственные векторы матрицы M″. Здесь мы сталкиваемся с ложным утверждением. Сингулярное разложение не позволяет вычислять собственные числа и собственные векторы матрицы M. Эти концепции связаны с другим понятием ‒ спектральным разложением.
Наконец, третье утверждение гласит⁚ ″Сингулярное разложение матрицы M позволяет вычислять сингулярные числа данной матрицы, а также левые и правые сингулярные векторы матрицы M″. Это утверждение является верным. Сингулярное разложение матрицы M дает нам возможность вычислить сингулярные числа, которые представляют собой квадратные корни из собственных чисел матрицы M^T * M (где M^T ‒ транспонированная матрица M). Кроме того, мы также можем вычислить левые и правые сингулярные векторы, которые являются собственными векторами для матрицы M^T * M и M * M^T соответственно.
В итоге, первое и третье утверждение являются верными, в то время как второе утверждение ложно. Теперь у меня есть лучшее понимание сингулярного разложения и его применений в анализе геометрических изменений;