Добрый день! С радостью расскажу о линейной зависимости векторов и как определить‚ при каком значении параметра ″p″ векторы m¯¯¯¯‚ n¯¯¯ и q¯¯ будут линейно зависимыми.Линейная зависимость векторов означает‚ что один из векторов может быть выражен как линейная комбинация других векторов. Для определения линейной зависимости векторов m¯¯¯¯‚ n¯¯¯ и q¯¯‚ нужно составить систему линейных уравнений‚ где неизвестным является коэффициент ″p″.Для начала‚ запишем векторы m¯¯¯¯‚ n¯¯¯ и q¯¯ в виде матрицы⁚
m ⎡⎣⎢−4⎤⎦⎥‚ n ⎡⎣⎢−3⎤⎦⎥‚ q ⎡⎣⎢−5⎤⎦⎥
⎢⎢⎢ 1⎥⎥⎥ ⎣⎢⎢ 1⎥⎥⎥ ⎢⎣⎢−3⎥⎥⎥
⎢⎢⎢ 2⎥⎥⎥ ⎣⎢⎢−2⎥⎥⎥ ⎢⎣⎢ p⎥⎥⎥
Создадим линейную комбинацию векторов⁚
am bn cq 0
Подставим значения векторов и коэффициент ″p″⁚
(-4a ⎯ 3b ⏤ 5c) (a b ⏤ 3c) (2a ⎯ 2b pc) 0
Сгруппируем коэффициенты⁚
(-4a a 2a) (-3b b ⏤ 2b) (-5c ⏤ 3c pc) 0
Теперь приведем подобные слагаемые⁚
(-a ⎯ b ⏤ 8c) pc 0
Для того чтобы векторы были линейно зависимыми‚ эта система должна иметь ненулевое решение. Это возможно только тогда‚ когда определитель матрицы коэффициентов при неизвестных равен нулю.Определитель матрицы⁚
| -1 -1 -8 |
| 0 0 p |
| 0 0 1 |
Вычислим определитель⁚
-1 * (p * 0 ⎯ 0 * 1) ⏤ (-1 * 0 ⎯ (-1) * 1) * 0 ⎯ (-1 * 0 ⎯ (-1) * p) * 0 0
Зная‚ что определитель равен нулю‚ решим это уравнение⁚
-1 * (p * 0 ⏤ 0 * 1) ⏤ (-1 * 0 ⎯ (-1) * 1) * 0 ⏤ (-1 * 0 ⎯ (-1) * p) * 0 0