Привет! Сегодня я расскажу тебе о том‚ как провести тест гипотезы на примере задачи о весе пачки печенья. Допустим‚ у нас есть продавец‚ который утверждает‚ что средний вес пачки печенья составляет 200 граммов. Чтобы проверить это утверждение‚ мы извлекаем выборку из 10 пачек и измеряем вес каждой из них.
Вес каждой пачки оказывается следующим⁚ 202‚ 203‚ 199‚ 197‚ 195‚ 201‚ 200‚ 204‚ 194‚ 190 граммов. Допустим‚ мы знаем‚ что веса пачек распределены нормально.Теперь наша задача ‒ определить‚ верно ли утверждение продавца о среднем весе пачки 200 граммов при доверительной вероятности 99%.Для начала давайте построим нулевую и альтернативную гипотезы⁚
Нулевая гипотеза (H₀)⁚ средний вес пачки печенья равен 200 граммам.
Альтернативная гипотеза (H₁)⁚ средний вес пачки печенья не равен 200 граммам.
Теперь нам нужно рассчитать статистику теста‚ чтобы принять или отвергнуть нулевую гипотезу. В этом случае мы будем использовать двустронний t-критерий (t-тест).Чтобы рассчитать t-статистику‚ нам понадобится знать среднее значение выборки‚ стандартное отклонение выборки и количество наблюдений.Среднее значение выборки (x̄) равно сумме всех измерений‚ деленной на количество наблюдений⁚
x̄ (202 203 199 197 195 201 200 204 194 190) / 10 199.5 граммов.Стандартное отклонение выборки (s) можно рассчитать по формуле⁚
s √((Σ(xi ‒ x̄)² / (n ‒ 1)))‚ где xi ‒ измерение‚ x̄ ― среднее значение выборки‚ n ‒ количество наблюдений.Рассчитаем стандартное отклонение⁚
s √(( (202 ‒ 199.5)² (203 ‒ 199.5)² (199 ‒ 199.5)² (197 ― 199.5)² (195 ‒ 199.5)² (201 ― 199.5)² (200 ‒ 199.5)² (204 ― 199.5)² (194 ― 199.5)² (190 ‒ 199.5)² ) / (10 ‒ 1))
s ≈ √(256.5 / 9) ≈ √28.5 ≈ 5.34 грамма.Теперь‚ используя среднее значение выборки‚ стандартное отклонение выборки и количество наблюдений‚ мы можем рассчитать t-статистику по формуле⁚
t (x̄ ‒ μ) / (s / √n)‚ где μ ― значение‚ утверждаемое продавцом‚ n ‒ количество наблюдений.В нашем случае⁚
t (199.5 ― 200) / (5.34 / √10) ≈ -0.5 / 1.69 ≈ -0.296. Теперь можно рассчитать критическую область и сравнить полученное значение t-статистики с ней. Для этого нам необходимо определить критическое значение t-статистики при заданной доверительной вероятности и степенях свободы. В нашем случае у нас степени свободы равны 10 ― 1 9‚ а доверительная вероятность составляет 99%. Для двустроннего t-теста при доверительной вероятности 99% и степенях свободы 9 критическая область будет состоять из двух крайних значений. По таблице критических значений‚ получаем значения t ±3.25. Теперь осталось только сравнить полученное значение t-статистики (-0.296) с критической областью (-3.25‚ 3.25). Значение t-статистики попадает в критическую область‚ что означает‚ что мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу. Таким образом‚ утверждение продавца о среднем весе пачки печенья‚ равном 200 граммам‚ подтверждается при доверительной вероятности 99%.