[Решено] Решите уравнения:

а) sin⁡ 2x 6 cos ⁡x = 0 ;

б) 4 cos^2⁡x − sin^2⁡x = sin⁡ x

Привет!​ Меня зовут Алексей и я хочу поделиться с вами своим опытом решения уравнений с тригонометрическими функциями.​ В данной статье мы решим два уравнения и подробно разберем каждый из них.​а) Начнем с уравнения sin⁡2x 6cos⁡x 0. Для начала преобразуем данное уравнение⁚

sin⁡2x -6cos⁡x
sin⁡2x -6∙cos⁡x

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами⁚
sin⁡2x 2sin⁡x∙cos⁡x

Теперь подставим это обратно в уравнение⁚

2sin⁡x∙cos⁡x -6cos⁡x

2sin⁡x∙cos⁡x 6cos⁡x 0

Упростим выражение⁚

2sin⁡x∙cos⁡x 6cos⁡x 0

cos⁡x(2sin⁡x 6) 0

Теперь рассмотрим два случая, когда уравнение будет выполняться⁚
1. cos⁡x 0, тогда sin⁡x ≠ 0.​ Найдем все значения x в отрезке [0, 2π], в которых cos⁡x 0.​ Известно, что cos⁡x 0 в точках x π/2 и x 3π/2.

2sin⁡x 6 0.​ Найдем все значения x в отрезке [0, 2π], в которых 2sin⁡x 6 0.​

2sin⁡x -6
sin⁡x -3

Так как синус не может быть больше 1 или меньше -1, то в данном случае уравнение не имеет решений.​

Таким образом, решениями уравнения sin⁡2x 6cos⁡x 0 будут значения x π/2 и x 3π/2.​б) Перейдем к решению второго уравнения⁚ 4cos^2⁡x − sin^2⁡x sin⁡x.​ Уравнение можно преобразовать следующим образом⁚
4cos^2⁡x − sin^2⁡x ― sin⁡x 0

Теперь заменим cos^2⁡x на 1 ― sin^2⁡x⁚

4(1 ⎼ sin^2⁡x) ― sin^2⁡x ― sin⁡x 0

4 ⎼ 4sin^2⁡x ⎼ sin^2⁡x ― sin⁡x 0

-5sin^2⁡x ― sin⁡x 4 0
Теперь решим это уравнение.​ Для этого можно воспользоваться квадратным трехчленом.Обозначим sin⁡x за z⁚

-5z^2 ― z 4 0

Применим метод решения квадратного уравнения⁚

D 1^2 ― 4∙(-5)∙4 161

z1 (-1 √161) / -10

z2 (-1 ― √161) / -10

Теперь найдем значения sin⁡x⁚

x1 arcsin ⁡ z1

x2 arcsin ⁡ z2

Точные значения для x1 и x2 можно узнать, используя калькулятор или таблицу значений синуса.​
Итак, решениями уравнения 4cos^2⁡x − sin^2⁡x sin⁡x будут значения x1 и x2, где x1 arcsin⁡ z1 и x2 arcsin⁡ z2.
Это был мой опыт решения данных уравнений. Надеюсь, что данная статья помогла вам разобраться в данной теме.​ Удачи вам!​