Я с большим удовольствием расскажу вам о своем опыте сечения правильной шестиугольной пирамиды и нахождения отношения объемов многогранников, на которые плоскость сечения разбивает пирамиду․
Для начала, давайте рассмотрим данную пирамиду SABCDEF․ У нее есть основание ABCDEF, которое является правильным шестиугольником․ Вершина C является общей вершиной основания и боковой грани SAF․ Нам также известно, что параллельная медиана BM боковой грани SAB и апофема SN боковой грани SAF лежат в плоскости, проходящей через вершину C․
Теперь, давайте рассмотрим плоскость сечения․ Она наклонена к плоскости основания пирамиды под углом, равным arccos 0٫75․ Обозначим этот угол как α․Чтобы найти отношение объемов многогранников٫ на которые плоскость сечения разбивает пирамиду٫ нам следует использовать принцип подобия треугольников․ Обозначим объемы получившихся многогранников как V1 и V2․Пусть h1 и h2 ‒ высоты этих многогранников٫ соответственно․ Тогда٫ согласно принципу подобия треугольников٫ отношение объемов многогранников будет равно квадрату отношения высот⁚
V1/V2 (h1/h2)^2
Теперь нам нужно найти значения h1 и h2․ Обратимся к свойству правильной шестиугольной пирамиды⁚ отношение высот боковой грани к апофеме равно √3/2․ Это означает, что h2 (√3/2) * SN․Теперь рассмотрим треугольник CNM, где N ⎼ точка пересечения плоскости сечения с боковой гранью SAF․ Мы можем применить теорему косинусов к этому треугольнику⁚
cosα CM / CN
Учитывая, что CM является высотой многогранника V1, а CN ⎼ апофемой боковой грани SAF, мы можем выразить h1 следующим образом⁚
h1 CM cosα * CN
Таким образом, h1 cosα * SN * (√3/2)․Теперь мы можем подставить полученные значения в формулу для отношения объемов⁚
V1/V2 (h1/h2)^2 (cosα * SN * (√3/2)) / ((√3/2) * SN))^2
Упрощая выражение, получаем V1/V2 cos^2α․Итак, отношение объемов многогранников, на которые плоскость сечения разбивает пирамиду, равно cos^2α․Дано, что α arccos 0,75․ Воспользуемся тригонометрической функцией, чтобы найти значение α⁚
α arccos 0,75 0,7227 радиан․Теперь можем вычислить cos^2α⁚
cos^2(0,7227) ≈ 0,3991․Таким образом, отношение объемов многогранников, на которые плоскость сечения разбивает пирамиду, равно 0,3991․Чтобы получить ответ в виде несократимой дроби m/n, где m и n ‒ натуральные числа, мы можем представить 0,3991 в виде десятичной дроби⁚
0,3991 3991/10000 3991/10^4․
Таким образом, m 3991, n 10^4;
Итак, сумма m n 3991 10000 13991․
Ответ⁚ сумма m n равна 13991․