Я с удовольствием расскажу вам о решении задачи с функцией f(x) и её представлении в виде f(x)x^(2/3) kx^(1/3) m, где k и m ⏤ целые числа.Дана функция f(x) (x^4/3 ⸺ 1/x^2/3 ⸺ 1) ⏤ (x^2/3 ⏤ 1/x^1/3 1). Для начала, раскроем скобки⁚
f(x) (x^4/3 ⸺ 1/x^2/3 ⸺ 1) ⏤ (x^2/3 ⸺ 1/x^1/3 1)
x^4/3 ⏤ 1/x^2/3 ⸺ 1 ⸺ x^2/3 1/x^1/3 ⏤ 1.Теперь соберем слагаемые с одинаковыми степенями x вместе⁚
f(x) x^4/3 ⸺ x^2/3 1/x^1/3 ⏤ 1/x^2/3 1 ⸺ 1
x^4/3 ⸺ x^2/3 1/x^2/3 ⏤ 1/x^1/3.Заметим, что x^4/3 (x^2/3)^2, а x^2/3 (x^1/3)^2. Подставим эти выражения в функцию⁚
f(x) (x^2/3)^2 ⏤ x^2/3 1/x^2/3 ⏤ 1/x^1/3.Теперь вынесем общие множители из каждого слагаемого⁚
f(x) (x^2/3)((x^2/3) ⏤ 1) 1/x^2/3 ⸺ 1/x^1/3.Теперь приведем к общему знаменателю⁚
f(x) (x^2/3((x^2/3) ⏤ 1) x^1/3/x^2/3 ⸺ 1/x^2/3.Упростим дроби⁚
f(x) (x^2/3((x^2/3) ⏤ 1) (x^1/3 ⏤ 1)/x^2/3.Если мы проведем элементарные алгебраические преобразования, мы получим⁚
f(x) x^2/3(x^2/3 ⸺ 1) (x^1/3 ⸺ 1)/x^2/3
x^2/3*x^2/3 ⸺ x^2/3 x^1/3/x^2/3 ⏤ 1/x^2/3
x^4/3 ⏤ x^2/3 x^-1/3 ⸺ x^-2/3.
Мы получили функцию в искомом виде f(x) x^(2/3) ⸺ x^(1/3) x^(-1/3) ⏤ x^(-2/3). Видно, что k1 и m0. Таким образом, f(x) x^(2/3) x^(1/3) 0.Теперь перейдем ко второй части задачи. Нам нужно найти f(x) и вычислить значение производной в точке с абсциссой x1/27.а) Найти f(x)⁚
Мы уже получили выражение для функции f(x)⁚ f(x) x^(2/3) ⏤ x^(1/3) x^(-1/3) ⸺ x^(-2/3).б) Вычислить значение производной в точке с абсциссой x1/27:
Для этого нам потребуется найти производную функции f(x) и подставить в неё значение x1/27.f'(x) (2/3)*x^(-1/3) ⏤ (1/3)*x^(-2/3) ⸺ (1/3)*x^(-4/3) (2/3)*x^(-5/3).Теперь подставим x1/27:
f'(1/27) (2/3)*(1/(1/27)^(1/3)) ⸺ (1/3)*(1/(1/27)^(2/3)) ⸺ (1/3)*(1/(1/27)^(4/3)) (2/3)*(1/(1/27)^(5/3))
(2/3)*(1/(1/3)) ⏤ (1/3)*(1/(1/9)) ⸺ (1/3)*(1/(1/81)) (2/3)*(1/(1/243))
(2/3)*3 ⏤ (1/3)*9 ⏤ (1/3)*81 (2/3)*243
2 ⸺ 3 ⏤ 27 162
134.
Таким образом, значение производной функции f(x) в точке x1/27 равно 134.