Самомуому интересно рассмотреть данное утверждение․ Рассмотрим треугольники АМК и А1М1К1 и докажем‚ что их биссектрисы АК и А1К1 равны․
В начале‚ обратимся к условию⁚ треугольники АМК и А1М1К1 – равнобедренные с основаниями АМ и А1М1‚ а также известно‚ что АМ А1М1 и МК М1К1․Теперь докажем равенство биссектрис АК и А1К1․ Пусть биссектриса АК пересекается с основанием МК в точке В‚ а биссектриса А1К1 пересекается с основанием М1К1 в точке В1․ Нам нужно доказать‚ что AV A1V1․Для начала‚ заметим‚ что так как треугольники АМК и А1М1К1 равнобедренные с основаниями АМ и А1М1‚ то AM A1M1 и МК М1К1․
Построим перпендикуляры из точек В и В1 к сторонам АК и А1К1 соответственно․ Обозначим точки пересечения перпендикуляров с сторонами АК и А1К1 как С и С1․Так как биссектриса АК делит угол МАК на два равных угла‚ то угол ВСА равен углу ВАМ․ Также‚ из равенства АМ А1М1 и равнобедренности треугольников АМК и А1М1К1‚ следует‚ что угол ВСА равен углу В1А1М1․
Аналогично‚ угол САК равен углу АМВ‚ и угол С1А1К1 равен углу А1М1В1․ Теперь обратим внимание на треугольники АМВ и А1М1В1․ Мы заметим‚ что они равны по двум углам‚ следовательно‚ они равны полностью․ Это означает‚ что AM A1M1 и BM B1M1․ Также‚ из равенства углов в треугольниках АМВ и А1М1В1 следует‚ что угол ВАМ равен углу В1А1М1․ Поскольку АМ А1М1‚ у нас есть два равных угла и две равные стороны в треугольниках АМВ и А1М1В1‚ что делает их равными․ Из равенства треугольников АМВ и А1М1В1 следует‚ что AV A1V1․ Таким образом‚ мы доказали‚ что биссектрисы АК и А1К1 равны․