[Решено] 1. Даны точки А(3; 0; 3), B(0; -3; 1), C(-1; 2; 1), D(4; 4; -2). Найдите:

а) координаты векторов АВ и CD:

B CD, б)...

Решение задачи 1⁚

Для того чтобы найти координаты векторов АВ и CD, нужно вычислить разность координат каждой точки.​

1. Координаты вектора AB⁚

AB B ‒ A (0; -3; 1) ‒ (3; 0; 3) (-3; -3; -2)

2. Координаты вектора CD⁚

CD D ‒ C (4; 4; -2) ‒ (-1; 2; 1) (5; 2; -3)

Для того чтобы найти вектор B CD, нужно сложить координаты соответствующих векторов⁚

B CD (0; -3; 1) (5; 2; -3) (5; -1; -2)

Для того чтобы найти вектор a AB CD, нужно сложить координаты соответствующих векторов⁚

a AB CD (-3; -3; -2) (5; 2; -3) (2; -1; -5)

Для того чтобы найти вектор c AB ‒ CD, нужно вычесть координаты соответствующих векторов⁚

c AB — CD (-3; -3; -2) — (5; 2; -3) (-8; -5; 1)

Для того чтобы найти длины векторов a и b, нужно использовать формулу⁚

|a| sqrt(a₁² a₂² a₃²)

|b| sqrt(b₁² b₂² b₃²)

где a₁, a₂, a₃ и b₁, b₂, b₃ ‒ координаты векторов a и b соответственно.​

|a| sqrt(2² (-1)² (-5)²) sqrt(4 1 25) sqrt(30)

|b| sqrt((-8)² (-5)² 1²) sqrt(64 25 1) sqrt(90)

Для того чтобы найти скалярное произведение векторов AB и CD, нужно использовать формулу⁚

AB·CD AB₁⋅CD₁ AB₂⋅CD₂ AB₃⋅CD₃

где AB₁, AB₂, AB₃ и CD₁, CD₂, CD₃, координаты векторов AB и CD соответственно.​

AB·CD (-3)⋅5 (-3)⋅2 (-2)⋅(-3) -15 (-6) 6 -15 ‒ 6 6 -15

Решение задачи 2⁚

1. Координаты середины стороны KM⁚

Середина стороны КМ будет координаты, которые будут являться средними значениями координат двух точек K и M.​

x-координата⁚ (5 1) / 2 6 / 2 3

y-координата⁚ (-1 6) / 2 5 / 2 2.5

z-координата⁚ (-3 2) / 2 -1 / 2 -0.5

Середина стороны КМ будет иметь координаты (3; 2.​5; -0.​5).​

2. Длины сторон треугольника и его вид⁚

Длина стороны КM⁚

|KM| sqrt((1 ‒ 5)² (6 ‒ (-1))² (2 ‒ (-3))²) sqrt((-4)² 7² 5²) sqrt(16 49 25) sqrt(90)

Длина стороны MN⁚

|MN| sqrt((9 ‒ 1)² (6 ‒ 6)² (2 ‒ 2)²) sqrt(8² 0 0) sqrt(64) 8

Длина стороны NK⁚

|NK| sqrt((5 ‒ 9)² (-1 — 6)² (-3 ‒ 2)²) sqrt((-4)² (-7)² (-5)²) sqrt(16 49 25) sqrt(90)

Треугольник КММ является разносторонним, так как все его стороны имеют разные длины.​

3. Косинус угла М⁚

Косинус угла вычисляется с использованием скалярного произведения векторов и их длин⁚

cos(M) (KM·NM) / (|KM|⋅|NM|)

где KM·NM — скалярное произведение векторов KM и NM.

cos(M) ((5 — 3)⋅(9 — 5) (-1 — 2.​5)⋅(6 — 6) (-3 — (-0.5))⋅(2 — 2)) / (sqrt(90)⋅8)

cos(M) (2⋅4 (-3.​5)⋅0 (-2.5)⋅0) / (sqrt(90)⋅8)

cos(M) 8 / (sqrt(90)⋅8) 1 / sqrt(90)

Угол М является тупым, так как его косинус меньше 0.​