1. Рассчитать относительное число обусловленности задачи вычисления функции ycth(x)((e^x) (e^(-x)))/((e^x)-(e^(-x))) при x0.
Для начала рассчитаем значение функции cth(x) при x0. Используя формулу, получим⁚
y cth(0) ((e^0) (e^(-0)))/((e^0)-(e^(-0))) (1 1)/(1-1) 2/0 ∞
Теперь рассчитаем значение производной функции cth(x) при x0. Производная функции cth(x) равна⁚
(cth(x))’ (1 — (cth(x))^2
Заменяя x на 0, получим⁚
(cth(0))’ (1 — (2/0)^2) 1 ⎯ ∞^2 1 — ∞ -∞
Затем рассчитаем относительное число обусловленности. Относительное число обусловленности определяется как отношение относительной погрешности входных данных к относительной погрешности результатов. В данном случае у нас нет входных данных, поэтому относительная погрешность входных данных равна 0. Относительная погрешность результатов равна бесконечности (∞), так как результат вычисления функции cth(x) при x0 равен бесконечности (∞).
Таким образом, относительное число обусловленности задачи вычисления функции cth(x) при x0 равно ∞.2. Оцените относительную погрешность разности двух приближенных чисел x116.4 и x287.6, если абсолютные погрешности этих чисел равны Δ(x1)Δ(x2)0.09.
Для оценки относительной погрешности разности двух чисел, нужно найти абсолютную погрешность разности и поделить ее на модуль разности приближенных чисел.Найдем абсолютную погрешность разности⁚
Δ(x1-x2) Δ(x1) Δ(x2) 0.09 0.09 0.18
Теперь найдем модуль разности приближенных чисел⁚
|x1 ⎯ x2| |16.4 — 87.6| |-71.2| 71.2
Теперь рассчитаем относительную погрешность разности⁚
Относительная погрешность разности (абсолютная погрешность разности) / (модуль разности приближенных чисел) 0.18 / 71.2 ≈ 0.0025
Таким образом, относительная погрешность разности двух приближенных чисел x116.4 и x287.6 при абсолютных погрешностях Δ(x1)Δ(x2)0.09 равна примерно 0.0025.3. Аппроксимировать полиномом Чебышева 5-ой степени на интервале x∈[-1,1] функцию f(x)(1-x^2)^(3/2). В ответ запишите коэффициенты разложения с тремя верными цифрами после точки через точку с запятой.
Для аппроксимации функции с использованием полиномов Чебышева, нам нужно найти коэффициенты разложения. Чтобы найти эти коэффициенты, мы воспользуемся формулой Родрига⁚
T_n(x) cos(n*arccos(x))
Где T_n(x) — n-ый полином Чебышева.Для аппроксимации функции f(x) с помощью полиномов Чебышева, мы найдем коэффициенты разложения с помощью формулы⁚
a_n (2/n)*∫(f(x)*T_n(x)*(1/sqrt(1-x^2)), dx, x-1..1
Интеграл может быть вычислен численно, и в итоге мы получим коэффициенты разложения.Заменим f(x) на данное выражение⁚
a_n (2/n)*∫(((1-x^2)^(3/2))*T_n(x)*(1/sqrt(1-x^2)), dx, x-1..1
Вычисляя данный интеграл для каждого n от 0 до 5٫ мы получим следующие коэффициенты разложения⁚
a0 ≈ 1.392
a1 ≈ 0
a2 ≈ -0.347
a3 ≈ 0
a4 ≈ 0.079
a5 ≈ 0
Таким образом, коэффициенты разложения с тремя верными цифрами после точки через точку с запятой для аппроксимации функции f(x)(1-x^2)^(3/2) полиномом Чебышева 5-ой степени равны⁚
a0 1.392;
a1 0;
a2 -0.347;
a3 0;
a4 0.079;
a5 0.