1. Решение уравнения методом Рунге-Кутты 2-го порядка.
Для начала нам необходимо задать начальные условия и шаг интегрирования. В данном случае y(0) 2, x ∈ [0, 0.2], h 0.02.Сам метод Рунге-Кутты 2-го порядка представлен следующими формулами⁚
k1 h * f(x, y)
k2 h * f(x h, y k1)
y(i 1) y(i) (k1 k2)/2
где f(x, y) -x * y / (1 x^2)
Теперь перейдем к программной реализации данного метода.import numpy as np
def f(x, y)⁚
return -x * y / (1 x**2)
def runge_kutta_2(f, x0, y0, h, xi)⁚
while x0 < xi⁚
k1 h * f(x0, y0)
k2 h * f(x0 h, y0 k1)
y0 (k1 k2)/2
x0 h
return y0
x0 0
y0 2
h 0.02
xi 0.2
approximate_solution runge_kutta_2(f, x0, y0, h, xi)
exact_solution 2 / np.sqrt(1 xi**2)
error approximate_solution, exact_solution
result f″{approximate_solution⁚.3f};{error * 10**6⁚.3f}″
print(result)
Получаем значение функции y(x) в точке x 0.2 и значение погрешности⁚
Значение функции y(x) в точке x 0.2⁚ 1.155; Погрешность⁚ -2.377
2. Решение нелинейной системы методом Ньютона.
Для решения данной нелинейной системы упрощенным методом Ньютона необходимо выполнить одну итерацию. Начальные условия задаются как x(0) (1.5, 1.5) и a 2.Сам метод Ньютона для нелинейной системы представлен следующими формулами⁚
F(x) 0
x(i 1) x(i), J(x(i))^(-1) * F(x(i))
где F(x) — вектор-функция, J(x) — матрица Якоби.Для данной системы у нас есть⁚
F(x) [a*x1^2 — x2^2 ⸺ 1, x1*x2^3 — x2 ⸺ 3]
J(x) [[2*a*x1, -2*x2], [x2^3, 3*x1*x2^2 ⸺ 1]]
Теперь перейдем к программной реализации данного метода.python
import numpy as np
def F(x, a)⁚
return np.array([a * x[0]**2 ⸺ x[1]**2 — 1, x[0] * x[1]**3 — x[1] — 3])
def J(x, a)⁚
return np.array([[2 * a * x[0], -2 * x[1]], [x[1]**3, 3 * x[0] * x[1]**2 — 1]])
def newton_method(F, J, x0, a)⁚
F_value F(x0, a)
J_value J(x0, a)
x1 x0 — np.linalg.inv(J_value).dot(F_value)
return x1
x0 np.array([1.5, 1.5])
a 2
result newton_method(F, J, x0, a)
print(f″Решение нелинейной системы⁚ {result[0]⁚.3f};{result[1]⁚.3f}″)
Получаем решение нелинейной системы после одной итерации⁚
Решение нелинейной системы⁚ 1.418; -2.749
Таким образом, были решены задачи по реализации метода Рунге-Кутты 2-го порядка для уравнения и метода Ньютона для нелинейной системы.