Тема статьи⁚ Как найти многочлен наименьшей положительной степени с целыми коэффициентами, имеющий заданный корень
В данной статье я расскажу о том, как найти многочлен наименьшей положительной степени с целыми коэффициентами, у которого заданный корень. В качестве примера возьмем число корень из 7 – 2. Для решения данной задачи воспользуемся следующим алгоритмом. Первым шагом будет установление соответствия между заданным корнем и коэффициентами многочлена. Затем определим степень многочлена. Для начала, пусть найденный нами многочлен будет иметь следующий вид⁚ f(x) a_0 a_1*x a_2*x^2 ... a_n*x^n. Это значит, что мы заранее не знаем, какая степень у многочлена, поэтому оставляем n в качестве переменной. Также, n будет положительным числом. Затем, с учетом того, что корень заданного многочлена равен корень из 7 – 2, мы можем записать следующее уравнение⁚ (корень из 7 – 2)^n a_(n-1)*(корень из 7 – 2)^(n-1) ... a_1*(корень из 7 – 2) a_0 0. Данное уравнение можно переписать в следующем виде⁚ (7^(1/2) – 2)^n a_(n-1)*(7^(1/2) – 2)^(n-1) ... a_1*(7^(1/2) – 2) a_0 0.
Теперь нам нужно найти значения коэффициентов a_0, a_1, ..., a_n, чтобы выполнить это уравнение. Для этого мы можем использовать систему уравнений, полученных из равенства коэффициентов при соответствующих степенях корня. После решения данной системы уравнений, мы получим значения коэффициентов многочлена наименьшей положительной степени с заданным корнем. В данном случае, это число корень из 7 – 2. Теперь перейдем ко второй части задания, где нужно найти многочлен f(x), где f(x) x^10 6x^9 6x^8-5x^7 6x^6 5x^5 6x^4-4x^3 8x^2-4x 8. Для этого мы используем результаты, полученные на первом шаге. Используя значения коэффициентов a_0, a_1, ..., a_n, найденные в предыдущем шаге, можно записать многочлен f(x), где a и b – целые числа, в виде⁚ f(x) (x ─ (κорень из 7 – 2))*(x ─ (κорень из 7 – 2))...(x ― (κорень из 7 – 2)), где κорень из 7 – 2 ― это значение корня, найденное нами ранее. Например, при помощи данного алгоритма мы можем найти многочлен, который имеет корень -3. Запись многочлена будет следующей⁚ (x ─ (-3)). Следовательно, наш многочлен будет иметь вид f(x) x ― (-3) x 3.
В данной статье я рассказал о том, как найти многочлен наименьшей положительной степени с целыми коэффициентами, имеющий заданный корень. Я привел примеры и объяснил алгоритм решения данной задачи. Надеюсь, что данная информация окажется вам полезной.