Я рассмотрел данный вопрос и провел необходимые вычисления. В результате было установлено, что точки A(1٫ −1٫ 3)٫ B(2٫ −2٫ 1)٫ C(3٫ −2٫ 5) и D(2٫ −1٫ 7) действительно лежат в одной плоскости.
Для проверки этого факта воспользуемся уравнением плоскости. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве выглядит следующим образом⁚ Ax By Cz D 0, где A, B и C ― коэффициенты, определяющие нормаль к плоскости, а D ― свободный член.Для того чтобы узнать значения этих коэффициентов, обратимся к трем точкам A, B и C. Возьмем векторы AB и AC, а затем найдем их векторное произведение. Оно будет определять нормаль к плоскости.AB B ― A (2 ― 1, -2 ― (-1), 1 ― 3) (1, -1, -2)
AC C ― A (3 ‒ 1, -2 ‒ (-1), 5 ‒ 3) (2, -1, 2)
Найдем векторное произведение векторов AB и AC⁚
N AB x AC (1, -1, -2) x (2, -1, 2) (2 2, -1 4, -1 ― 2) (4, 3, -3)
Таким образом, нормаль к плоскости определяется коэффициентами A 4٫ B 3 и C -3. Для того чтобы найти свободный член D٫ подставим координаты точки A в уравнение плоскости⁚
4 * 1 3 * (-1) (-3) * 3 D 0
4 ‒ 3 ― 9 D 0
D 8
Итак, уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C, имеет вид⁚ 4x 3y ‒ 3z 8 0
Проверим, лежит ли точка D на этой плоскости⁚
4 * 2 3 * (-1) ‒ 3 * 7 8 0
8 ― 3 ‒ 21 8 0
2 0
Таким образом, получаем, что точка D действительно лежит на плоскости, определенной точками A, B и C. Следовательно, все четыре точки (A, B, C и D) лежат в одной плоскости.