Мой опыт с линейными отображениями
Привет всем! Сегодня я хочу поделиться своим опытом работы с линейными отображениями. Недавно я столкнулся с задачей, которая требовала решения линейного отображения векторов. Пока я понимал, что нужно делать, я оценил, как легко можно решить такую задачу.
Задано линейное отображение F, которое переводит вектор v(3, 1) в вектор (−4, 11), а вектор w(1, −1) в вектор (8, −3). Мне было интересно узнать, куда же оно переводит вектор u(2, 2).Сначала я попытался найти общую формулу для линейного отображения F. Для этого я использовал матричное представление линейного отображения. Если A — матрица линейного отображения, a_ij — элементы матрицы A, v и w ⏤ векторы, то отображение F можно представить в виде F(v) Av.Таким образом, я составил систему уравнений⁚
a_11 * 3 a_12 * 1 -4
a_21 * 3 a_22 * 1 11
a_11 * 1 a_12 * (-1) 8
a_21 * 1 a_22 * (-1) -3
Решив эту систему уравнений, я получил матрицу линейного отображения A⁚
A [[-2, -2],
[5, 6]]
Интересно, что я обнаружил, что матрица A — это коэффициенты, с помощью которых осуществляется преобразование векторов v и w!Теперь, зная матрицу A, я могу легко найти, куда переводится вектор u(2, 2). Для этого я использовал формулу F(u) Au⁚
F(u) [[-2, -2],
[5, 6]] [[2], [2]] [[-6], [22]]
Итак, линейное отображение F переводит вектор u(2٫ 2) в вектор (-6٫ 22).