Я недавно решил интересную задачу, связанную с расстановкой ладей на шахматной доске. И вот что я выяснил.
Начнем с того, что все клетки доски можно разделить на несколько групп — горизонтали, вертикали и диагонали. Заметим, что ладья может бить только клетки, принадлежащие к той же группе, что и она сама;
Теперь представим, что на каждой горизонтали, вертикали и диагонали может находиться не более одной ладьи. В таком случае, представим, что убираем все ладьи, кроме одной на каждой группе. Таким образом, у нас останется 3 ладьи (по одной на горизонталь, вертикаль и диагональ) и они все будут бить все клетки на доске.
Доска имеет 8 горизонталей, 8 вертикалей и 13 диагоналей (5 малых и 8 больших). Суммарно получается 29 групп, на каждой из которых может находиться не более одной ладьи. Следовательно, мы можем убрать все ладьи, кроме одной на каждой группе, и в итоге останется не более 29 ладей.
Но в нашем случае у нас всего 72 клетки на доске, поэтому можно убрать все ладьи, кроме одной на каждой группе (1 ладья на горизонталь, 1 на вертикаль и 2 на каждую диагональ). Таким образом, мы оставим не более 11 ладей на доске, при этом каждая из них будет бить все клетки.
Таким образом, я доказал, что можно убрать несколько ладей, оставив не более 11, так, чтобы оставшиеся ладьи по-прежнему били все клетки.