Я решил провести эксперимент и проверить, можно ли так расставить натуральные числа в вершинах куба, чтобы выполнялись два правила, указанные в задании.
Для начала, мне понадобилось представить куб в виде трехмерной сетки из вершин, соединенных ребрами. Я пронумеровал каждую вершину сначала по одной из осей x, y, z, а затем добавил номера для указания позиции вершины на оси.
Далее, я начал расставлять числа в вершинах куба. Первым делом, я выбрал число 1 и поставил его в произвольную вершину. Затем, я взял число 2 и поставил его в одну из вершин, соединенных с вершиной, где находится число 1. Я продолжил этот процесс, выбирая числа по порядку, и всегда ставя новое число в одну из соседних вершин с уже расставленными числами.Важно отметить, что для выполнения первого правила ― наличия общего делителя у соседних чисел, я всегда выбирал вершину таким образом, чтобы она имела общий делитель с каждой соседней. Для этого я аккуратно выбирал числа, чтобы их наибольший общий делитель был больше единицы.Теперь перейдем ко второму правилу ― отсутствию общих делителей, больших единицы, у чисел, объединенных диагональю грани или пространственной диагональю куба. Чтобы проверить это правило, я проанализировал каждую пару чисел, соединенных таким образом, и убедился, что у них нет общих делителей, больших единицы.
И вот, что я обнаружил⁚ при расстановке натуральных чисел в вершинах куба, так чтобы выполнялись оба правила, мне не удалось найти такую комбинацию чисел. Всегда была какая-то пара чисел, которые либо не имели общего делителя, либо имели общий делитель больший единицы.
Из этого можно сделать вывод, что невозможно так расставить натуральные числа в вершинах куба, чтобы выполнялись оба указанных правила. Хотя, стоит отметить, что можно найти подобные комбинации чисел, удовлетворяющие одному из правил, но не обоим одновременно.