В тетраэдре ABCD с прямыми углами BAD и BCD, в плоскости ABC через точку B была проведена касательная к описанной окружности треугольника ABC. Моя цель ⎻ доказать, что эта касательная перпендикулярна прямой BD. Для начала, давайте посмотрим на некоторые свойства описанной окружности треугольника ABC. Она проходит через вершины A, B и C, а значит, ее центр должен лежать на перпендикулярах к отрезкам AB, BC и CA, проходящих через середины этих отрезков. Обозначим центр описанной окружности как O. Так как у нас есть прямые углы BAD и BCD, то треугольник ABD и треугольник BCD являются прямоугольными. Заметим, что отрезок BD является общей стороной для этих двух треугольников. Рассмотрим теперь треугольник BAD. Так как угол BAD прямой, то по свойству описанной окружности, угол BOD (где D ⎻ точка пересечения отрезка BD и описанной окружности) должен быть равен половине угла BAD. Известно также, что угол BCD прямой, поэтому угол BCO (где C ⎻ третья вершина треугольника BCD) также должен быть равен половине угла BCD.
Теперь обратимся к треугольнику BCO. Он имеет два равных угла BCO и BOC, так как это один и тот же угол; Значит, треугольник BCO равнобедренный, и отрезок BO равен OC.
Из подобия треугольников ABD и BCD следует, что отрезок BD также делит стороны треугольников ABD и BCD в одном и том же отношении. Таким образом, отрезок BO, который является средней линией треугольника BCD, также является средней линией треугольника ABD.
Поскольку отрезок BO совпадает с радиусом описанной окружности, и он перпендикулярен прямой BD, мы можем заключить, что касательная к описанной окружности, проведенная через точку B, также перпендикулярна прямой BD.
Таким образом, мы доказали, что касательная, проведенная через точку B, перпендикулярна прямой BD в тетраэдре ABCD с прямыми углами BAD и BCD в плоскости ABC.