Привет! Сегодня я расскажу тебе о том, как найти значение производной функции в точке с помощью примера. Допустим, у нас есть функция f(x) 3√(12x 3)^4, и мы хотим найти значение производной f'(2).Для начала, нам нужно выразить данную функцию более простым способом. Заметим, что внутри корня у нас стоит выражение (12x 3)^4. Чтобы упростить это выражение, возьмем корень четвертой степени каждого слагаемого отдельно⁚
(12x 3)^4 (12x 3)(12x 3)(12x 3)(12x 3)
Теперь, чтобы найти производную функции f(x), воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Для этого нам понадобятся два правила⁚ правило дифференцирования степенной функции и правило дифференцирования композиции функций.Правило дифференцирования степенной функции⁚ (x^n)’ nx^(n-1)
Правило дифференцирования композиции функций⁚ (f(g(x)))’ f'(g(x)) · g'(x)
Сначала найдем производную внутренней композиции функций. Обозначим g(x) 12x 3.Тогда g'(x) 12, так как производная линейной функции равна ее коэффициенту.Теперь найдем производную внутренней функции, обозначим ее h(x) x^4.h'(x) 4x^(4-1) 4x^3
Итак, с использованием правила дифференцирования композиции функций, находим производную внутренней композиции⁚
(f(g(x)))’ h'(g(x)) · g'(x) 4(12x 3)^3 · 12
Теперь, чтобы найти производную исходной функции f(x), воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции⁚
f'(x) 3√(12x 3)^4 · (f(g(x)))’
3√(12x 3)^4 · 4(12x 3)^3 · 12
Теперь мы можем подставить значение x 2 и найти значение производной f'(2)⁚
f'(2) 3√(12·2 3)^4 · 4(12·2 3)^3 · 12
Выполняя расчеты, мы получаем⁚
f'(2) 3√(27)^4 · 4(27)^3 · 12
3·27^2 · 4·27^3 · 12
3·27^2 · 4·27^3 · 12
3·729 · 4·19683 · 12
78732
Итак, мы получили, что значение производной f'(2) равно 78732.
В данной статье я показал, как найти значение производной функции в заданной точке с помощью примера. Надеюсь, что это будет полезно для тебя в изучении математики! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся спрашивать. Удачи!