В данной статье я расскажу о том, как с помощью определения найти производную функции в заданной точке. Возьмем функцию у 10x^2 6х и найдем ее производную в точке х.Шаг 1⁚ Запишем функцию в общем виде, представив ее в виде суммы членов⁚
у аx^2 bх,
где а 10٫ b 6.Шаг 2⁚ Применим определение производной. Для этого заменим в исходной функции значение х на (x ∆x)٫ где ∆x ⎻ бесконечно малая приращение х. Получим⁚
f(x ∆x) a(x ∆x)^2 b(x ∆x)٫
Раскроем скобки⁚
f(x ∆x) a(x^2 2x∆x (∆x)^2) bx b∆x,
f(x ∆x) ax^2 2ax∆x a(∆x)^2 bx b∆x.Шаг 3⁚ Вычислим разность ∆у f(x ∆x) ─ f(x), то есть разность значений функции при изменении аргумента на ∆x⁚
∆у (ax^2 2ax∆x a(∆x)^2 bx b∆x) ⎻ (ax^2 bx).Упростим выражение⁚
∆у ax^2 2ax∆x a(∆x)^2 bx b∆x ⎻ ax^2 ⎻ bx,
∆у 2ax∆x a(∆x)^2 b∆x.Шаг 4⁚ Разделим ∆у на ∆x٫ чтобы получить производную функции в точке х⁚
∆у/∆x (2ax∆x a(∆x)^2 b∆x)/∆x.Сократим ∆x в числителе⁚
∆у/∆x 2ax a∆x b.Шаг 5⁚ В пределе٫ когда ∆x стремится к нулю (∆x → 0)٫ ∆у/∆x превращается в производную функции f(x) по х⁚
f'(x) lim(∆у/∆x) 2ax a∆x b.Устремим ∆x к нулю⁚
f'(x) 2ax b.Таким образом, мы получили производную функции у 10x^2 6х в точке х⁚
f'(x) 20x 6.
Это и есть ответ на задачу. Ответом является функция f'(x) 20x 6٫ которая является производной исходной функции у по х в заданной точке x.