Здравствуйте! С радостью расскажу о том, как найти базис ядра линейной формы․ В данной статье речь пойдет о следующей линейной форме и ее ядре⁚
f(x, y, z, w) 2x ⎼ 5y ౼ z 4w, где x, y, z, w ౼ переменные․Для начала, давайте определим, что такое базис ядра․ Ядро линейной формы представляет собой множество всех векторов, которые переходят в 0 при применении данной линейной формы․ Таким образом, базис ядра ⎼ это минимальная линейно независимая система векторов, которые образуют это множество․
Чтобы найти базис ядра линейной формы, сначала составим систему уравнений, которую нужно решить․ Поскольку ядро ౼ это множество векторов, которые переходят в 0, уравнение будет выглядеть следующим образом⁚
2x ⎼ 5y ౼ z 4w 0
Теперь решим эту систему для нахождения базиса ядра․ Для этого воспользуемся методом Гаусса или матричными операциями․Выписав систему уравнений в матричном виде, получим⁚
[2 -5 -1 4] [x] [0]
[y] [0]
[z] [0]
[w] [0]
Теперь приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду и решим систему⁚
[2 -5 -1 4] [x] [0]
[0] [0]
[0] [0]
[0] [0]
Применим элементарные преобразования к матрице для ее приведения к ступенчатому виду⁚
1) Переставим строки матрицы так, чтобы на главной диагонали были только нули или единицы․ В данном примере это уже выполнено․2) Если элемент под главным элементом строки не равен нулю, вычтем из нее строку, умноженную на коэффициент так, чтобы получить ноль в этом месте․Применим элементарные преобразования⁚
[2 -5 -1 4] [x] [0]
[0] [0]
[0] [0]
[0] [0]
1) Вычтем из второй строки первую, умноженную на -2⁚
[2 -5 -1 4] [x] [0]
[0] [0]
[0] [0]
[0] [0]
2) Вычтем из третьей строки первую, умноженную на -1⁚
[2 -5 -1 4] [x] [0]
[0] [0]
[0] [0]
[0] [0]
3) Вычтем из четвертой строки первую, умноженную на -4⁚
[2 -5 -1 4] [x] [0]
[0] [0]
[0] [0]
[0] [0]
Получили ступенчатый вид матрицы․ Теперь найдем все свободные переменные в системе․В данном случае ими являются переменные y, z и w, так как каждая из них имеет перед собой столбец с нулями․Теперь оставим только свободные переменные в системе уравнений⁚
-y ⎼ z 3w 0
Таким образом, базис ядра линейной формы будет представлять собой линейную комбинацию свободных переменных⁚
v (y, -z, 3w), где y, z, w ౼ произвольные числа․
Полученный вектор v будет образовывать базис ядра, так как при подстановке значений y, z, w в систему уравнений, мы получаем нулевой вектор․
Надеюсь, данная статья помогла вам разобраться в вопросе нахождения базиса ядра линейной формы․ Удачи!