Меня зовут Максим, и сегодня я хочу рассказать вам о том, как найти коэффициент при x^k в разложении выражения P по полиномиальной формуле․ Для иллюстрации я использую пример разложения выражения P (3 x^14 x^6)^20, а найду коэффициент при x^114․Для начала, давайте вспомним основные принципы мультипликативного разложения и комбинаторики, которые помогут нам решить задачу․
Мы знаем, что разложение полинома P^20 будет содержать всевозможные произведения мономов (3, x^14, x^6) в 20-й степени․ Теперь задача сводится к определению всех возможных комбинаций, которые приведут к получению x^114․Рассмотрим следующую ситуацию⁚ для получения x^114 в разложении P^20 мы можем выбрать 14 мономов x^6 и 1 моном x^14, а оставшиеся 5 мономов должны быть равны 3․ Таким образом, мы можем выразить коэффициент при x^114 в следующем виде⁚
С (20 choose 14) * (20 — 14 choose 1) * 3^(20-14-1)
Давайте разберемся, что означает каждый член этого выражения⁚
— (20 choose 14) — это биномиальный коэффициент и представляет собой число способов выбрать 14 позиций из 20․ Он вычисляется по формуле⁚
(20 choose 14) 20! / (14! * (20-14)!)
— (20 — 14 choose 1) ― это число способов выбрать 1 позицию из оставшихся 6 позиций․
— 3^(20-14-1) ― это возведение числа 3 в степень, равную разности между общим числом позиций и числом позиций, занятых мономами x^14 и x^6․
Выполнив необходимые вычисления, получим⁚
C (20 choose 14) * (20 — 14 choose 1) * 3^(20-14-1)
(38760) * (6) * (3^5)
2٫071٫040
Таким образом, коэффициент при x^114 в разложении выражения P по полиномиальной формуле равен 2,071,040․