Я решил проверить, как можно использовать полный дифференциал функции двух переменных для вычисления приближенного значения функции в определенной точке. Для этого я взял функцию z (ln(√x^2 – y^2) – y/2) и точку M (5٫01; 3٫98).Сначала я вычислил частные производные функции по переменным x и y. Для этого я использовал правила дифференцирования для функций с использованием логарифмов и исключения иррациональности. Результатом были следующие производные⁚
∂z/∂x (1/(√x^2 – y^2)) * (2x/(2√x^2 – 2y^2))
∂z/∂y (1/(√x^2 – y^2)) * (-2y/2√x^2 – 2y^2) ⸺ 1/2
Затем я подставил значения точки M в эти производные и рассчитал их численные значения. Для точки M с координатами (5,01; 3,98) получилось⁚
∂z/∂x (1/(√(5,01)^2 – (3,98)^2)) * (2(5,01)/(2√(5,01)^2 – 2(3,98)^2)) 0,111
∂z/∂y (1/(√(5,01)^2 – (3,98)^2)) * (-2(3,98)/2√(5,01)^2 – 2(3,98)^2) ⸺ 1/2 -0,124
Затем я построил формулу полного дифференциала функции, используя численные значения частных производных и переменные изменения (dx и dy). Для этого я использовал следующую формулу⁚
dz (∂z/∂x) * dx (∂z/∂y) * dy
С учетом численных значений частных производных и переменных изменения получилось⁚
dz 0,111 * dx ⸺ 0,124 * dy
Наконец, я принял значение dx равным 0,01 (так как точка M находится неподалеку от значения x 5) и dy равным 0,02 (так как точка M находится неподалеку от значения y 4). Подставив эти значения в формулу полного дифференциала, я получил⁚
dz 0٫111 * 0٫01 ─ 0٫124 * 0٫02 -0٫00123
Итак, приближенное значение функции z в точке M (5,01; 3,98) с использованием полного дифференциала равно -0,00123.