Привет! Меня зовут Алексей, и сегодня я расскажу тебе о треугольнике, заданном вершинами A(-1;1), B(5;4), C(2;5)․1) Для начала, найдём уравнения всех сторон треугольника․ Пусть AB ⎯ сторона треугольника, соединяющая вершины A и B․ Найдём коэффициент наклона этой стороны⁚
k_AB (y_B ― y_A) / (x_B ― x_A) (4 ― 1) / (5 ⎯ (-1)) 3 / 6 1/2․Также найдём значение y-координаты y_0_AB, подставив координаты одной из вершин в уравнение прямой⁚
y_A k_AB * x_A y_0_AB․
1 (1/2) * (-1) y_0_AB․y_0_AB 1 1/2 3/2․Таким образом٫ уравнение стороны AB имеет вид⁚
y (1/2)x 3/2․Аналогичные вычисления можно провести для нахождения уравнений сторон BC и AC․2) Затем найдём угол при вершине A․ Для этого воспользуемся формулой косинусов⁚
cos A (b^2 c^2 ― a^2) / (2 * b * c)٫
где a, b и c ― длины сторон треугольника․ В нашем случае, a BC, b AC и c AB․Вычислим значения сторон треугольника⁚
BC sqrt((x_C ― x_B)^2 (y_C ― y_B)^2) sqrt((2 ⎯ 5)^2 (5 ― 4)^2) sqrt(9 1) sqrt(10),
AC sqrt((x_C ― x_A)^2 (y_C ⎯ y_A)^2) sqrt((2 ― (-1))^2 (5 ⎯ 1)^2) sqrt(9 16) sqrt(25) 5,
AB sqrt((x_B ― x_A)^2 (y_B ― y_A)^2) sqrt((5 ⎯ (-1))^2 (4 ― 1)^2) sqrt(36 9) sqrt(45)․Теперь можем найти угол при вершине A⁚
cos A (sqrt(10)^2 5^2 ― sqrt(45)^2) / (2 * sqrt(10) * 5) (10 25 ― 45) / (2 * sqrt(10) * 5) (35 ― 45) / (10 * sqrt(10)) -10 / (10 * sqrt(10)) -1 / sqrt(10)․Так как угол A лежит в первом квадранте, он будет остроугольным․ Используя тригонометрическую таблицу или калькулятор, найдём значение угла A⁚
A arccos(-1 / sqrt(10)) ≈ 143․13°․3) Далее, найдём уравнение высоты CK․ Для этого находим коэффициент наклона высоты⁚
k_CK -1 / k_AB -1 / (1/2) -2․Также найдём значение y-координаты y_0_CK٫ подставив координаты вершины C в уравнение прямой⁚
y_C k_CK * x_C y_0_CK․
5 -2 * 2 y_0_CK․y_0_CK 5 4 9․Таким образом, уравнение высоты CK имеет вид⁚
y -2x 9․4) Теперь найдём уравнение медианы CM․ Медиана является отрезком, соединяющим вершину C с серединой стороны AB․ Найдём координаты середины стороны AB⁚
x_M (x_A x_B) / 2 (-1 5) / 2 4 / 2 2,
y_M (y_A y_B) / 2 (1 4) / 2 5 / 2 2․5․Теперь можем найти коэффициент наклона медианы⁚
k_CM (y_C ― y_M) / (x_C ― x_M) (5 ⎯ 2․5) / (2 ― 2) 2․5 / 0 ∞․Учитывая, что медиана вертикальна, её уравнение будет иметь вид⁚
x x_C 2․5) Наконец, найдём точку пересечения высот треугольника․ Так как CK и CM являются прямыми, пересечение можно найти, решив систему уравнений⁚
y -2x 9, (уравнение высоты CK),
x 2․ (уравнение медианы CM)․Подставим значение x из уравнения медианы в уравнение высоты⁚
y -2 * 2 9 5․
Таким образом, точка пересечения высот треугольника имеет координаты (2, 5)․
Это и есть все ответы на заданные вопросы․ Буду рад, если моя информация окажется полезной для тебя!