Привет! Меня зовут Алексей и сегодня я поделюсь с вами своим опытом в решении задач по геометрии. Сегодня мы будем решать задачу, связанную с координатами вершин пирамиды ABCD. Давайте начнем!1. Запишем векторы АB, AC и AD в системе орт и найдем их модули.
Вектор АB⁚
AB (9-5; 3-(-1); -6-(-4))
AB (4; 4; -2)
Модуль вектора АB⁚
|AB| √(4² 4² (-2)²)
|AB| √(16 16 4)
|AB| √36
|AB| 6
Вектор АC⁚
AC (7-5; 10-(-1); -14-(-4))
AC (2; 11; -10)
Модуль вектора АC⁚
|AC| √(2² 11² (-10)²)
|AC| √(4 121 100)
|AC| √225
|AC| 15
Вектор AD⁚
AD (5-5; 1-(-1); -3-(-4))
AD (0; 2; 1)
Модуль вектора AD⁚
|AD| √(0² 2² 1²)
|AD| √(4 1)
|AD| √5
2; Найдем угол между векторами AB и AC.
Угол между векторами можно найти с помощью формулы косинуса⁚
cos(θ) (AB·AC) / (|AB|·|AC|)
Где AB·AC ⏤ скалярное произведение векторов AB и AC, |AB| и |AC| ー модули этих векторов.AB·AC 4*2 4*11 (-2)*(-10) 8 44 20 72
cos(θ) 72 / (6*15) 72 / 90 0.8
θ arccos(0.8) ≈ 37.37°
3. Найдем проекцию вектора AD на вектор AC.
Проекция вектора AD на вектор AC может быть найдена по формуле⁚
projADonAC (AD·AC) / |AC|
Где AD·AC ⏤ скалярное произведение векторов AD и AC, |AC| ー модуль вектора AC.AD·AC 0*2 2*11 1*(-10) 0 22 ⏤ 10 12
projADonAC 12 / 15 0.8
4. Найдем площадь грани ABC.
Площадь грани ABC может быть найдена с помощью формулы площади треугольника⁚
SABC 1/2 * |AB × AC|
Где AB × AC ⏤ векторное произведение векторов AB и AC.AB × AC (4; 4; -2) × (2; 11; -10)
AB × AC (4*(-10) ー 4*(-11); (-2)*2 ⏤ (4*(-10)); 4*11 ⏤ 4*2)
AB × AC (-40 44; -4 40; 44 ー 8)
AB × AC (4; 36; 36)
|AB × AC| √(4² 36² 36²) √(16 1296 1296) √2608 ≈ 51.05
SABC 1/2 * 51.05 25.525
5. Найдем объем пирамиды ABCD.
Объем пирамиды ABCD может быть найден с помощью формулы объема пирамиды⁚
V 1/6 * |AC · (AB × AD)|
Где AC · (AB × AD) ー смешанное произведение векторов AC, AB и AD.AC · (AB × AD) (2; 11; -10) · (4; 4; -2) × (0; 2; 1)
AC · (AB × AD) (2*4 11*4 (-10)*(-2)) * (0*4 ー 2*(-2) ー 1*0)
AC · (AB × AD) (8 44 20) * (0 ー (-4) ー 0)
AC · (AB × AD) 72 * 4 288
V 1/6 * 288 48
Итак, мы решили все пункты задачи! Векторы АB, AC и AD в системе орт записаны, найдены их модули. Угол между векторами AB и AC равен примерно 37.37°. Проекция вектора AD на вектор AC равна 0.8. Площадь грани ABC составляет приблизительно 25.525. Объем пирамиды ABCD равен 48.
Надеюсь, эта информация окажется полезной для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, обращайтесь!