Мой опыт выбора факультативов
Когда я был в школе, у нас тоже была возможность выбирать факультативы. В то время нам предложили 8 различных факультативов, и каждый из нас, включая меня, должен был выбрать только один из них. Учитывая, что в нашей группе было 5 учеников, меня интересовал вопрос, насколько вероятно, что хотя бы двое из нас выберут один и тот же факультатив.
Чтобы рассчитать вероятность, нужно сначала понять, сколько вариантов выбора есть у каждого ученика. Учитывая, что у нас всего 8 факультативов, у каждого ученика будет по 8 вариантов. Теперь нужно рассмотреть все возможные комбинации выбора факультативов для двух и более учеников.
Вероятность выбора одного факультатива двумя учениками
Для начала рассмотрим случай, когда только двое из нас выбирают один и тот же факультатив. Чтобы это произошло, первому ученику нужно выбрать факультатив из 8 возможных. Для второго ученика остается только 1 факультатив, который совпадает с выбором первого ученика. Таким образом, вероятность выбора одного факультатива двумя учениками составляет 1/8.
Вероятность выбора одного факультатива тремя учениками
Теперь рассмотрим случай, когда трое из нас выбирают один и тот же факультатив. Для первого ученика существует 8 возможных выборов. Для второго ученика остается только 1 факультатив٫ который совпадает с выбором первого ученика. Для третьего ученика также остается только 1 факультатив٫ который совпадает с выбором первых двух учеников. Таким образом٫ вероятность выбора одного факультатива тремя учениками составляет (1/8) * (1/8) 1/64.
Вероятность выбора одного факультатива четырьмя учениками
Если мы рассмотрим случай, когда четверо из нас выбирают один факультатив, то вероятность будет равна (1/8) * (1/8) * (1/8) 1/512.
Вероятность выбора одного факультатива пятью учениками
Наконец, рассмотрим случай, когда все пять учеников выбирают один и тот же факультатив. Вероятность будет равна (1/8) * (1/8) * (1/8) * (1/8) 1/4096.
Общая вероятность
Теперь нам нужно сложить все эти вероятности, чтобы получить общую вероятность того, что хотя бы двое из нас выберут один и тот же факультатив. В данном случае, нам необходимо исключить ситуации, когда все пять учеников выбирают разные факультативы.
Для этого мы вычтем вероятность выбора разных факультативов всеми пятью учениками из 1⁚ 1 ― (1 ― 1/8) * (1 ― 1/8) * (1 ― 1/8) * (1 ― 1/8) * (1 — 1/8) 1 — (7/8) * (7/8) * (7/8) * (7/8) * (7/8) 1 ― (2401/32768) ≈ 0.9264.
Таким образом, с вероятностью около 0.9264 хотя бы двое из нас выберут один и тот же факультатив.