Привет! Сегодня я расскажу тебе о решении нескольких задач, связанных с геометрией в пространстве. Приготовься, будет интересно!1. Даны точки А(-13; -16; -30) и В(-7; 0; -2). Нам необходимо найти длину отрезка АВ и координаты его середины.
Для начала найдем длину отрезка АВ. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в пространстве. Формула выглядит следующим образом⁚
d √((x2 ⎻ x1)^2 (y2 ⎻ y1)^2 (z2 ⎻ z1)^2),
где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) ― координаты двух точек.В нашем случае (x1, y1, z1) (-13, -16, -30) и (x2, y2, z2) (-7, 0, -2). Подставим значения в формулу⁚
d √((-7 ― (-13))^2 (0 ― (-16))^2 (-2 ― (-30))^2) √(6^2 16^2 28^2) √(36 256 784) √1076 ≈ 32.8.Таким образом, длина отрезка АВ составляет примерно 32.8 единицы.Теперь перейдем к нахождению координат середины отрезка АВ. Для этого нужно найти среднее значение каждой координаты точек А и В. Очень просто⁚
x (x1 x2) / 2 (-13 ⎻ 7) / 2 -20 / 2 -10,
y (y1 y2) / 2 (-16 0) / 2 -16 / 2 -8,
z (z1 z2) / 2 (-30 ⎻ 2) / 2 -32 / 2 -16.
Таким образом, координаты середины отрезка АВ равны (-10, -8, -16).2. Даны точки F(2; -3; 0), G(7; -5; 4) и N(-3; -1; 4). Нам необходимо найти координаты векторов FG и GN, модуль вектора FG, координаты вектора d -2 FG 3 GN и вид угла между векторами FG и GN.
Для начала найдем координаты векторов FG и GN. Для этого нужно вычислить разность между координатами точек G и F, а также разность между координатами точек N и G. Опять же, это несложно сделать⁚
Вектор FG⁚ (7 ― 2, -5 ― (-3), 4 ― 0) (5, -2, 4),
Вектор GN⁚ (-3 ― 7, -1 ⎻ (-5), 4 ⎻ 4) (-10, 4, 0).Теперь найдем модуль вектора FG. Для этого воспользуемся формулой модуля вектора в пространстве⁚
||FG|| √(x^2 y^2 z^2),
где (x, y, z) ⎻ координаты вектора FG.Подставим значения в формулу⁚
||FG|| √(5^2 (-2)^2 4^2) √(25 4 16) √45 ≈ 6.71.Таким образом, модуль вектора FG составляет примерно 6.71 единицы.Перейдем к нахождению координат вектора d -2 FG 3 GN. Для этого нужно умножить вектор FG на -2, вектор GN на 3 и сложить полученные векторы⁚
d -2 * (5, -2, 4) 3 * (-10, 4, 0) (-10, 4, 8) (-30, 12, 0) (-40, 16, 8).Таким образом, координаты вектора d равны (-40, 16, 8).Наконец, определим вид угла между векторами FG и GN. Для этого воспользуемся формулой для косинуса угла между двумя векторами в пространстве⁚
cosθ (FG * GN) / (||FG|| * ||GN||),
где FG * GN ⎻ скалярное произведение векторов FG и GN, ||FG|| и ||GN|| ― модули векторов FG и GN.Вычислим скалярное произведение FG * GN⁚
FG * GN 5 * (-10) (-2) * 4 4 * 0 -50 ― 8 0 -58.Теперь вычислим модули векторов FG и GN⁚
||FG|| √(5^2 (-2)^2 4^2) √(45) ≈ 6.71٫
||GN|| √((-10)^2 4^2 0^2) √(116) ≈ 10.77.Подставим значения в формулу для косинуса⁚
cosθ (-58) / (6.71 * 10.77) ≈ -0;855.
Учитывая, что косинус угла отрицательный, можно заключить, что угол между векторами FG и GN тупой.3. Определим, при каком значении переменной х вектора (2; -1; 8) и 8 (- 10; x, – 40) a) перпендикулярны; б) коллинеарны?
Для того чтобы два вектора были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равным нулю. В нашем случае, для перпендикулярности векторов, необходимо решить следующую систему уравнений⁚
(2 * (-10)) (-1 * x) (8 * (-40)) 0٫
(8 * (-10)) (8 * x) (8 * (-40)) 0.Решая эту систему, получим значение переменной x. Некоторые преобразования позволят нам упростить систему⁚
-20 ― x ― 320 0,
-80 8x ⎻ 320 0.
Сложив уравнения, получим⁚
-400 7x 0,
7x 400,
x 400 / 7 ≈ 57.14.Таким образом, при x ≈ 57.14 данные векторы будут перпендикулярными.Что касается коллинеарности векторов, два вектора являются коллинеарными, если один вектор можно получить, умножив другой вектор на какое-то число. Для того чтобы проверить, будут ли векторы коллинеарными при заданном значении переменной x, нужно решить следующую систему уравнений⁚
2 (-10) * k٫
-1 x * k,
8 (-40) * k.Разделив первое и третье уравнение на -10 и -40 соответственно٫ получим⁚
-0.2 k٫
-0.2 k.
Таким образом, решений нет и данные векторы не будут коллинеарными для данного значения переменной x.4. Найдем угол между прямыми AB и CD, если A(1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(2; -2; 2) и D(2; -3; 1).
Для начала найдем вектор направления прямой AB. Для этого нужно вычислить разность между координатами точек A и B⁚
Вектор AB⁚ (0 ⎻ 1, 1 ― 1, 1 ⎻ 2) (-1, 0, -1).Теперь найдем вектор направления прямой CD. Для этого нужно вычислить разность между координатами точек C и D⁚
Вектор CD⁚ (2 ⎻ 2, -2 ― (-3), 2 ⎻ 1) (0, 1, 1);Используя формулу для косинуса угла между двумя векторами в пространстве, найдем угол между векторами AB и CD⁚
cosθ (AB * CD) / (||AB|| * ||CD||),
где AB * CD ― скалярное произведение векторов AB и CD, ||AB|| и ||CD|| ― модули векторов AB и CD.Вычислим скалярное произведение AB * CD⁚
AB * CD (-1) * 0 0 * 1 (-1) * 1 0.Теперь вычислим модули векторов AB и CD⁚
||AB|| √((-1)^2 0^2 (-1)^2) √(2) ≈ 1.41,
||CD|| √(0^2 1^2 1^2) √(2) ≈ 1.41.Подставим значения в формулу для косинуса⁚
cosθ 0 / (1.41 * 1.41) 0.
Зная, что косинус угла равен нулю, можем заключить, что угол между прямыми AB и CD составляет 90 градусов, то есть они перпендикулярны.
Надеюсь, что статья оказалась полезной!