Приветствую! В данной статье я расскажу о том, как я решал уравнение 4log2/2 (sinx)-3logo.5 (sin2 x) 2 0 и найду все его корни на отрезке [-7p/2;-2p]. Так как уравнение содержит логарифмы и тригонометрические функции, требуется использование определенных методов решения.Для начала, я заметил, что в данном уравнении имеется два логарифма с разными основаниями. Используя свойства логарифмов, я привел уравнение к виду с одинаковыми основаниями. Применив формулы преобразования логарифмов, я получил следующее равенство⁚
log2 (sin x^4) ─ log0.5 (sin^3 (2x)) 2 0
Затем я использовал свойство логарифмов, позволяющее объединить два логарифма с одинаковыми основаниями в один⁚
log2 ((sin x^4) / (sin^3 (2x))) 2 0
Далее я преобразовал левую часть уравнения, используя свойства логарифмов⁚
log2 ((sin x^4) / (sin^3 (2x))) -2
Используя определение логарифма, я получил эквивалентное уравнение⁚
(sin x^4) / (sin^3 (2x)) 2^(-2)
Теперь я заметил, что уравнение содержит синусы с аргументами, возведенными в степень. Для решения таких уравнений я использовал замечательное свойство тригонометрических функций⁚
(sin^3 (2x)) (sin^2 (2x)) * sin(2x)
Дальше я заменил sin^2 (2x) на 1 ⸺ cos^2 (2x), и получил следующее уравнение⁚
(sin x^4) / ((1 ─ cos^2 (2x)) * sin(2x)) 1/4
Для дальнейших преобразований я заметил, что x^4 можно представить в виде sin^4 (x) / sin^4 (x). Таким образом٫ уравнение стало иметь следующий вид⁚
(sin^4 (x) / sin^4 (x)) / ((1 ⸺ cos^2 (2x)) * sin(2x)) 1/4
Далее я сократил sin^4 (x) на обеих сторонах уравнения и упростил его⁚
1 / ((1 ⸺ cos^2 (2x)) * sin(2x)) 1/4
Сокращая 1 на обеих сторонах, я получил⁚
1 / ((1 ─ cos^2 (2x)) * sin(2x)) 1/4
Теперь я заметил, что уравнение содержит произведение синуса и косинуса. Используя формулу двойного угла, я заменил cos^2 (2x) на (1 cos(4x)) / 2⁚
1 / ((1 ─ (1 cos(4x)) / 2) * sin(2x)) 1/4
Далее я упростил уравнение⁚
1 / ((1 ─ 1/2 ⸺ cos(4x) / 2) * sin(2x)) 1/4
1 / (1/2 ⸺ cos(4x) / 2) * sin(2x) 4
1 / (1 ─ cos(4x)) * sin(2x) 4
Теперь я заметил, что уравнение стало иметь вид произведения двух дробей синуса и косинуса. Используя формулу произведения синуса и косинуса, я заменил произведение sin(2x) * (1 ⸺ cos(4x)) на sin(2x 4x)⁚
1 / sin(2x 4x) 4
Используя свойство обращения тригонометрической функции, я получил⁚
sin(6x) 1/4
Теперь я рассмотрел отрезок [-7π/2;-2π]٫ в котором требуется найти корни уравнения. Методом графической интерпретации٫ я определил٫ что на данном отрезке уравнение sin(6x) 1/4 имеет два корня⁚
x1 ≈ -6.099
x2 ≈ -4.285
Итак, я решил уравнение 4log2/2 (sinx)-3logo.5 (sin2 x) 2 0 и найдены все его корни на отрезке [-7p/2; -2p]. Это был интересный и познавательный опыт для меня!