Привет! Сегодня я расскажу тебе, как я решал уравнение √2sin²x * sin(x-П/4) 2sin(3П/4) и нашел все его корни на отрезке [-3П; 5П].
Приступим! Сначала я привел уравнение к более удобному виду, чтобы было проще работать с ним.
Уравнение √2sin²x * sin(x-П/4) 2sin(3П/4) можно переписать в виде⁚
√2*sin²x * sin(x-П/4) ─ 2sin(3П/4) 0.Дальше я использовал тригонометрические тождества, чтобы преобразовать уравнение⁚
√2*sin²x * [sinx*cos(П/4) ─ cosx*sin(П/4)] — 2sin(3П/4) 0.Заметив, что sin(П/4) сos(П/4) 1/√2 и sin(3П/4) cos(П/4) -1/√2, я получил⁚
√2*sin²x * (sinx ─ cosx) 2/√2 0.Упрощая дальше, я разделил обе части уравнения на √2⁚
sin²x * (sinx ─ cosx) 1 0.Теперь у меня есть квадратное уравнение, которое я решил с помощью метода подстановки. Я предположил, что sinx — cosx t, где t – новая переменная.Таким образом, я заменил sinx ─ cosx на t и получил новое уравнение⁚
sin²x * t 1 0.Разделив обе части уравнения на sin²x, я получил⁚
t cot²x 0.После этого я избавился от дроби٫ умножив обе части уравнения на sin²x⁚
sin²x * t cot²x * sin²x 0.С помощью идентичности тангенса я заменил cot²x на 1 ─ tan²x⁚
sin²x * t (1 ─ tan²x) * sin²x 0.Раскрыв скобки٫ я получил⁚
sin²x * t sin²x ─ sin⁴x 0.Теперь у меня есть квадратное уравнение относительно sinx. Я его решил и получил два значения sinx⁚
sinx 0 и sinx ±1/√2.Далее, я нашел соответствующие значения cosx, используя тригонометрические идентичности⁚
для sinx 0, cosx ±1,
для sinx 1/√2٫ cosx ±1/√2٫
для sinx -1/√2, cosx -1/√2.Теперь я могу записать все корни уравнения на отрезке [-3П; 5П]⁚
1) sinx 0, тогда x 0, П, 2П, 3П, 4П,
2) sinx 1/√2, тогда x П/4, 7П/4,
3) sinx -1/√2٫ тогда x -П/4٫ 3П/4.Итак٫ я нашел все корни уравнения √2sin²x * sin(x-П/4) 2sin(3П/4)٫ принадлежащие отрезку [-3П; 5П].
Надеюсь, моя статья помогла тебе разобраться в решении данного уравнения!