Привет! В этой статье я хочу рассказать о методах нахождения вектора c‚ который компланарен векторам a и b‚ перпендикулярен вектору a‚ равен ему по длине и образует с вектором b тупой угол․Вектор a задан координатами (8‚ 4‚ 1)‚ а вектор b задан координатами (-2‚ -2‚ -1)․ Чтобы найти вектор c‚ который удовлетворяет всем указанным условиям‚ нужно применить несколько шагов․Первым шагом я нахожу проекцию вектора b на вектор a‚ которая определяется по формуле⁚
proj(a‚ b) ((a * b) / (|a|^2)) * a
Где a * b ౼ скалярное произведение векторов a и b‚ |a|^2 ౼ квадрат длины вектора a․Проекция вектора b на вектор a будет выглядеть следующим образом⁚
proj(a‚ b) ((8 * -2 4 * -2 1 * -1) / ((8^2 4^2 1^2))) * (8‚ 4‚ 1)
proj(a‚ b) (-32 / 81) * (8‚ 4‚ 1)
Теперь найденную проекцию нужно умножить на длину вектора a‚ чтобы получить вектор‚ равный ему по длине․ Длина вектора a может быть найдена с помощью формулы⁚
|a| sqrt(8^2 4^2 1^2) sqrt(81) 9
Таким образом‚ вектор c будет равен⁚
c ((-32 / 81) * 9) * (8‚ 4‚ 1)
c (-32/9) * (8‚ 4‚ 1)
Чтобы вектор c был компланарен векторам a и b‚ необходимо умножить его на их векторное произведение․ Векторное произведение векторов a и b может быть найдено с помощью определителя следующей матрицы⁚
| i j k |
| 8 4 1 |
| -2 -2 -1 |
Вычисляем определитель⁚
i * (4 * -1 ౼ 1 * -2) ― j * (8 * -1 ౼ 1 * -2) k * (8 * -2 ― 4 * -2)
i * (-4 2) ― j * (-8 2) k * (-16 8)
i * (-2) ― j * (-6) k * (-8)
(2‚ -6‚ -8)
Теперь умножим вектор c и векторное произведение (2‚ -6‚ -8)⁚
c’ c x (2‚ -6‚ -8)
c’ ((-32/9) * (8‚ 4‚ 1)) x (2‚ -6‚ -8)
Вычисляем векторное произведение с помощью определителя⁚
i * ((-32/9) * (-6) ౼ 1 * (-6 * (-8)))
— j * ((-32/9) * 2 ౼ 1 * (-8 * (-8)))
k * ((-32/9) * 2 ౼ (-6) * (-8))
Упрощаем выражение⁚
c’ i * (192/9 ౼ 48) ― j * ((-64/9) 64) k * ((-64/9) ― 96)
c’ i * (192/9 ― 48) ― j * (-64/9 64) k * (-64/9 ― 96)
c’ i * (192/9 ― 432/9) ౼ j * (-64/9 576/9) k * (-64/9 ౼ 864/9)
c’ (i * (-240/9)) ౼ (j * (512/9)) ౼ (k * (928/9))
c’ (-80/3‚ 512/9‚ -928/9)
Таким образом‚ вектор c будет равен⁚
c c’ * |a| ((-80/3‚ 512/9‚ -928/9)) * 9
c (-80/3 * 9‚ 512/9 * 9‚ -928/9 * 9)
c (-240/3‚ 512/3‚ -928/3)
c (-80‚ 170․67‚ -309․33)
Полученный вектор c компланарен векторам a и b‚ перпендикулярен вектору a‚ равен ему по длине и образует с вектором b тупой угол․