Привет, меня зовут Алексей и я хочу поделиться с вами своим опытом написания кода метода сопряженных градиентов по формуле Флетчера-Ривса на языке Python. В этой статье я покажу пример работы алгоритма и объясню каждую часть кода.
Метод сопряженных градиентов является одним из популярных численных методов оптимизации для решения задач безусловной оптимизации. Он находит минимум унимодальной функции, используя только значения функции и её градиент.
Перед тем как перейти к коду, давайте обсудим некоторые основные понятия метода сопряженных градиентов⁚
Градиент функции
Градиент функции f(x) характеризует её локальную скорость изменения в точке x. Если градиент равен нулю в точке, это означает, что функция имеет экстремум.
Сопряженные направления
Два направления называются сопряженными, если их скалярное произведение равно нулю. В методе сопряженных градиентов мы строим последовательность сопряженных направлений, которая помогает ускорить поиск минимума функции.
Формула Флетчера-Ривса
Формула Флетчера-Ривса используется для вычисления сопряженных направлений в методе сопряженных градиентов. Она выглядит следующим образом⁚
beta np.dot(new_grad, new_grad) / np.dot(old_grad, old_grad)
direction -new_grad beta * direction
Теперь перейдем к написанию кода. В качестве примера, рассмотрим оптимизацию двухмерной функции⁚
import numpy as np
def f(x)⁚
return x[0]**2 2*x[1]**2 3*x[0]*x[1] 4
def gradient(x)⁚
return np.array([2*x[0] 3*x[1], 4*x[1] 3*x[0]])
def conjugate_gradient⁚
x np.array([0, 0])
direction -gradient(x)
iterations 0
while np.linalg.norm(direction) > 1e-6 and iterations < 1000⁚ alpha -np.dot(gradient(x), direction) / np.dot(gradient(x), gradient(x)) x x alpha * direction new_grad gradient(x) beta np.dot(new_grad, new_grad) / np.dot(gradient(x), gradient(x)) direction -new_grad beta * direction iterations 1 return x result conjugate_gradient print(″Optimal solution⁚″, result) print(″Minimum value⁚″, f(result))
Приведенный выше код реализует метод сопряженных градиентов по формуле Флетчера-Ривса; Мы задаем функцию f(x) и её градиент gradient(x). Затем мы инициализируем начальное значение x, направление direction и количество итераций.
Внутри цикла while мы находим шаг alpha, обновляем текущее значение x и вычисляем новое направление и новый градиент. После достижения критерия остановки или максимального количества итераций, мы возвращаем оптимальное значение x.
Наших хватит, чтобы понять и реализовать метод сопряженных градиентов по формуле Флетчера-Ривса на языке Python. Я надеюсь, что вам понравилась моя статья и вы сможете применить этот алгоритм в своих задачах оптимизации.