В цилиндре вписана призма, основанием которой служит прямоугольный треугольник. Катет этого треугольника равен 2а, а прилежащий угол равен 60°. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45 градусов. Найдем объем цилиндра.Для начала определим высоту призмы. Так как катет прямоугольного треугольника равен 2а, а прилежащий угол равен 60°, то по теореме синусов можно найти высоту треугольника.sin 60° h / 2а,
√3 / 2 h / 2а,
h (√3 / 2) * 2а √3а.Теперь найдем диагональ боковой грани призмы. У нас есть информация٫ что эта диагональ составляет с плоскостью основания угол в 45°. Поэтому٫ используя тригонометрический косинус٫ найдем значение диагонали.cos 45° d / 2а٫
√2 / 2 d / 2а,
d (√2 / 2) * 2а √2а.Таким образом, мы определили высоту и диагональ боковой грани призмы. Для нахождения объема цилиндра, в который вписана эта призма, воспользуемся формулой объема цилиндра.V π * r^2 * h,
где V ⎼ объем цилиндра, r ー радиус основания цилиндра, h ⎼ высота цилиндра.
Так как радиус основания цилиндра совпадает с радиусом описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника (который равен а), то можем написать уравнение для объема цилиндра.
V π * a^2 * √3a π * 3a^3.
Вот и получили объем цилиндра, в который вписана данная призма.