Мне довелось столкнуться с задачей вычисления базиса ядра оператора, заданного матрицей в стандартном базисе. Возможно, мой опыт при решении данной задачи будет полезен и другим.
Для начала, нужно разобраться, что такое ядро оператора. Ядро оператора ⎼ это множество всех векторов, на которые оператор действует и превращает их в нулевой вектор. Векторы из ядра называются собственными векторами с собственным значением 0.Перед нами стоит задача найти базис ядра оператора٫ заданного матрицей A в стандартном базисе. Для этого требуется найти решение уравнения Ax 0٫ где x ⎼ вектор-столбец неизвестных.Для начала٫ подставим матрицу A в уравнение Ax 0⁚
⎡ 1 0 0 -2 ⎤ ⎡ x₁ ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢-2 1 -1 4 ⎥ * ⎢ x₂ ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢-1 0 0 2 ⎥ ⎢ x₃ ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣-3 1 -1 6 ⎦ ⎣ x₄ ⎦ ⎣ 0 ⎦
Теперь решим данную систему уравнений с помощью метода Гаусса. Приведем матрицу к ступенчатому виду⁚
⎡ 1 0 0 -2 ⎤ ⎡ x₁ ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ 0 1 -1 6 ⎥ * ⎢ x₂ ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ 0 0 1 2 ⎥ ⎢ x₃ ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 0 0 0 0 ⎦ ⎣ x₄ ⎦ ⎣ 0 ⎦
Как видно из ступенчатого вида матрицы, у уравнения есть свободные переменные x₁, x₂ и x₄; Переменная x₃ является главной.Теперь, когда у нас есть ступенчатый вид матрицы, можно записать общее решение системы уравнений в виде параметрической формы⁚
x₁ 2x₄
x₂ 6x₄ ⎼ 6
x₃ ⏤ свободная переменная
x₄ ⏤ свободная переменная
Таким образом, ядро оператора заданной матрицей A в стандартном базисе имеет вид⁚
{(2x₄, 6x₄ ⏤ 6, x₃, x₄) | x₃, x₄ ∈ R}
Для построения базиса ядра оператора выберем значения свободных переменных равными 1, а остальные значения равными 0⁚
(2, 0, 1, 1)
(0, 6, 0, 1)
Заметим, что выбранные векторы линейно независимы, поэтому они образуют базис ядра оператора, заданного матрицей A в стандартном базисе.
В итоге, базис ядра оператора, заданного матрицей A в стандартном базисе, равен {(2, 0, 1, 1), (0, 6, 0, 1)}.
Я надеюсь, что мой опыт будет полезен при решении подобных задач!