Мой опыт в математике говорит мне, что решение этих задач требует применения теории остатков и алгоритма возведения в степень по модулю. Я столкнулся с похожими задачами в прошлом, поэтому расскажу, как я решил их.1) Найти остаток от деления 2^2023 на 100⁚
Для решения этой задачи я воспользуюсь алгоритмом возведения в степень по модулю. Сначала я представлю число 2 в двоичной системе⁚ 2 10. Затем я буду последовательно умножать полученный результат на себя и каждый раз брать остаток от деления на 100, чтобы не переполнить оперативную память.Начнем⁚
2^1 mod 100 2
2^2 mod 100 (2^1)^2 mod 100 2^2 mod 100 4
2^3 mod 100 (2^2)^2 mod 100 4^2 mod 100 16
2^4 mod 100 (2^3)^2 mod 100 16^2 mod 100 56
2^5 mod 100 (2^4)^2 mod 100 56^2 mod 100 36
2^6 mod 100 (2^5)^2 mod 100 36^2 mod 100 96
2^7 mod 100 (2^6)^2 mod 100 96^2 mod 100 16
...Повторяя эти шаги, мы обнаружим, что остаток от деления 2^2023 на 100 равен 96.2) Доказать, что 5^70 6^70 делится на 61⁚
Для решения этой задачи я сразу обратил свое внимание на факт, что 61 является простым числом, поэтому мне нужно найти способ связать это с заданным уравнением.Моя первая мысль была в том, чтобы применить малую теорему Ферма. Она говорит, что если p ⎻ простое число, то a^(p-1) mod p 1, где а и p взаимно простые.Используя эту теорему, я могу записать⁚
5^70 mod 61 (5^(61-1))^(70/(61-1)) mod 61 1^(70/60) mod 61 1
6^70 mod 61 (6^(61-1))^(70/(61-1)) mod 61 1^(70/60) mod 61 1
Таким образом, мы получаем, что 5^70 6^70 mod 61 1 1 mod 61 2 mod 61 0.
Из этого следует, что 5^70 6^70 делится на 61.