Производные функций ⸺ это одна из самых важных и полезных тем в математике. Именно они позволяют нам описывать изменение функции и ее скорость роста или убывания в конкретной точке. В данной статье я расскажу о вычислении производных для нескольких функций и вычислении их значений в заданных точках.1. Найдите производную функции⁚
а) y e^x – x^7
Для этой функции мы сначала возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности, а затем сложим результаты⁚
dy/dx d(e^x)/dx – d(x^7)/dx (1)
Так как производная экспоненциальной функции e^x равна самой функции, а производная многочлена x^7 равна 7x^6, то мы получаем⁚
dy/dx e^x – 7x^6 (2)
б) y x^3 * ln(x) ln(4)
Для этой функции мы применим правило производной произведения⁚
Сначала возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности, а затем сложим результаты⁚
dy/dx d(x^3)/dx * ln(x) x^3 * d(ln(x))/dx d(ln(4))/dx (3)
Производная x^3 равна 3x^2, а производная ln(x) равна 1/x. Также производная ln(4) равна 0 (так как ln(4) это константа). Подставим эти значения в (3) и получим⁚
dy/dx 3x^2 * ln(x) x^3/x 0
dy/dx 3x^2 * ln(x) x^2 (4)
в) y (x^5)/8 – (x^3)/4 x^2 – ln(x/2)
Применим правило производной суммы и разности⁚
dy/dx d((x^5)/8)/dx – d((x^3)/4)/dx d(x^2)/dx – d(ln(x/2))/dx (5)
Производная каждого слагаемого отдельно равна⁚
dy/dx 5(x^4)/8 – 3(x^2)/4 2x – 1/(x/2)
dy/dx 5(x^4)/8 – 3(x^2)/4 2x – 2/x (6)
2. Вычислите значение производной функции y 3^x x^3 – 1 в точке x_a 0.
Для этого мы подставляем x 0 в выражение для производной и вычисляем значение⁚
dy/dx 3^(0) 0^3 – 1
dy/dx 1 0 – 1
dy/dx 0 (7)
3. Вычислите значение производной функции y 3e^x – cos(2x) в точке x_0 0.
Аналогично предыдущему пункту, мы подставляем x 0 в выражение для производной⁚
dy/dx 3e^(0) – cos(2 * 0)
dy/dx 3 – cos(0)
dy/dx 3 – 1
dy/dx 2 (8)
4. Найдите производную функции (x^5)/8 – (x^3)/4 x^2 – ln(x/2) в точке x_c 2.
Аналогично пункту 1, мы сначала вычисляем производную, а затем подставляем x 2⁚
dy/dx 5(2^4)/8 – 3(2^2)/4 2(2) – 2/(2/2)
dy/dx 5(16)/8 – 3(4)/4 4 – 2/(1)
dy/dx 10 – 3 4 – 2
dy/dx 9 (9)
5. Вычислите значение производной функции y (x^3)/2 – ln(2x) в точке x_o 2.
Мы подставляем x 2 в выражение для производной и вычисляем значение⁚
dy/dx (2^3)/2 – ln(2 * 2)
dy/dx 8/2 – ln(4)
dy/dx 4 – ln(4)
dy/dx 4 – 2ln(2)
dy/dx 4 – 2 * 0.693147
dy/dx ≈ 4 – 1.386294
dy/dx ≈ 2.613706 (10)
6. Вычислите значение производной функции y ln(2x 11) 5x в точке x_0 –5.
Мы подставляем x -5 в выражение для производной и вычисляем значение⁚
dy/dx ln(2(-5) 11) 5(-5)
dy/dx ln(1) ⸺ 25
dy/dx 0 ‒ 25
dy/dx -25 (11)
7. Вычислите значение производной функции y 1/2 * tan(4x – pi) – 3cos^2(2x) pi в точке x_0 pi/4.
Мы подставляем x pi/4 в выражение для производной и вычисляем значение⁚
dy/dx 1/2 * tan(4(pi/4) – pi) – 3cos^2(2(pi/4)) pi
dy/dx 1/2 * tan(pi – pi) – 3cos^2(pi/2) pi
dy/dx 1/2 * tan(0) – 3(0) pi
dy/dx 0 – 0 pi
dy/dx pi (12)
В данной статье я рассказал о вычислении производных функций и вычислении их значений в заданных точках. Это очень важные навыки в математике и широко применяются в различных областях, таких как физика, экономика, инженерия и др. Надеюсь, эта информация будет полезна и поможет вам лучше понять и использовать производные функций.