1. Для начала найдем стороны параллелограмма АВСД. Пусть сторона ВС равна х, тогда сторона АВ будет равна х 5, поскольку сторона АВ больше ВС на 5 см. Периметр параллелограмма равен сумме всех его сторон, то есть⁚ (х 5) (х 5) х х 80 см.
Упростим это уравнение⁚ 4х 10 80.Теперь решим уравнение⁚
4х 70٫
х 17.5.Тогда сторона ВС равна 17.5 см, а сторона АВ равна 22.5 см.2. Теперь перейдем ко второй части задания ౼ поиску углов параллелограмма АВСД. Угол А больше угла В в 4 раза, значит, угол В равен А/4. Так как сумма углов параллелограмма равна 360°, у нас есть уравнение⁚
А А/4 В В 360. Упростим его⁚ 5А/4 2В 360. Заменим В на А/4: 5А/4 2А/4 360. Сложим дроби⁚ 7А/4 360. Умножим обе части уравнения на 4/7: А 160.
Теперь найдем В⁚ В А/4 160/4 40.Таким образом, угол А равен 160°, угол В равен 40°.3. Теперь рассмотрим равнобедренную трапецию. Одному из углов равнойбедренной трапеции равен 65°. Поскольку треугольник внутри трапеции также равнобедренный, то его углы равны между собой. Пусть каждый из этих углов будет равен х°. Тогда у нас есть уравнение⁚
65 х х 180.2х 180 ౼ 65,
2х 115.Теперь решим уравнение⁚
х 115/2,
х 57.5.
Таким образом, каждый из углов равнобедренной трапеции равен 57.5°.4. Для нахождения диагоналей прямоугольника АВСД воспользуемся теоремой синусов в треугольнике СДА. По условию, угол САД равен 30°, а сторона СД равна 15 см. Обозначим длину диагоналей прямоугольника через их стороны⁚ диагональ АС ‒ х, диагональ СД ౼ у.Тогда, по теореме синусов, имеем⁚
х/sin(30°) 15/sin(30°),
х 15.Для нахождения у٫ воспользуемся теоремой синусов в треугольнике СДА⁚
у/sin(150°) 15/sin(30°),
sin(150°) sin(180° ‒ 30°) sin(30°),
у/0.5 15/sin(30°),
у 30.Таким образом, диагональ АС равна 15 см, а диагональ СД равна 30 см.5. Чтобы доказать, что АВСД ‒ параллелограмм, нам нужно использовать свойство параллелограмма, согласно которому противоположные углы равны. У нас есть угол СДА 40° и угол СДВ 40°. Если мы докажем, что угол АВС 140° и угол АВД 140°, то это означает, что противоположные углы параллелограмма равны. Воспользуемся углами суммы внутри четырехугольника АВСД⁚ углы АВС и АВД вместе составляют 180°, поскольку они формируют линейный угол. Зная, что угол СДА 40°, мы можем найти углы АВС и АВД⁚
Угол АВС 180° ౼ 40° 140°,
Угол АВД 180° ‒ 40° 140°.Таким образом, углы АВС и АВД равны 140°, что доказывает, что АВСД ౼ параллелограмм.6. В ромбе АВСД угол А равен 60°. Диагонали ромба пересекаются в точке О. Нам нужно найти углы треугольника АОВ. Мы знаем, что диагонали ромба делят его углы пополам. Таким образом, угол АОВ равен половине угла А, то есть 60°/2 30°. Таким же образом, угол ВОА также равен 30°. Таким образом, углы треугольника АОВ равны 30°, 30° и 120°.