1. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от знаменателя. Умножим обе части уравнения на ″𝑥″ и решим полученное уравнение⁚
8/𝑥−2 𝑥
8 ‒ 2𝑥 𝑥^2
Далее, перенесем все члены уравнения на одну сторону⁚
𝑥^2 2𝑥 ‒ 8 0
Теперь необходимо решить полученное квадратное уравнение. Я воспользуюсь формулой дискриминанта⁚
𝐷 (2)^2 ‒ 4(1)(-8) 36
Дискриминант больше нуля, что означает, что у нас есть два корня. Применяя формулу⁚
𝑥 (-2 ± √36)/2
Раскрываем корень⁚
𝑥 (-2 ± 6)/2
Таким образом, получаем два значения переменной 𝑥⁚ 𝑥 2 и 𝑥 -4.2. Для решения данного уравнения также необходимо избавиться от знаменателей. Умножим все части уравнения на (𝑥^2 ─ 1)(𝑥 1) и решим полученное уравнение⁚
6𝑥 ─ 8/𝑥^2 ‒ 1 10𝑥 ─ 4/𝑥 1 ─ 4
6𝑥(𝑥^2 ─ 1)(𝑥 1) ‒ 8(𝑥^2 ‒ 1) 10𝑥(𝑥^2 ─ 1)(𝑥 1) ‒ 4(𝑥 1)(𝑥^2 ─ 1) ─ 4(𝑥^2 ‒ 1)
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые⁚
6𝑥^4 6𝑥^3 ‒ 6𝑥 ‒ 6𝑥 ‒ 8𝑥^2 8 10𝑥^4 10𝑥^3 ─ 10𝑥 ─ 4𝑥^3 ─ 4𝑥^2 ‒ 4 ─ 4𝑥^2 4
6𝑥^4 ‒ 4𝑥^4 6𝑥^3 ─ 4𝑥^3 ‒ 8𝑥^2 ─ 4𝑥^2 ─ 6𝑥 10𝑥 ─ 10𝑥 ‒ 4 4 0
2𝑥^4 2𝑥^3 ‒ 12𝑥^2 ─ 2𝑥 ─ 4 0
Решим полученное уравнение с помощью метода деления многочленов⁚
2𝑥^4 2𝑥^3 ─ 12𝑥^2 ‒ 2𝑥 ─ 4 (2𝑥^3 4𝑥^2 ─ 6)(𝑥^2 ─ 1) ─ 8𝑥 ─ 4
(2𝑥^3 4𝑥^2 ─ 6)(𝑥^2 ‒ 1) ‒ 8𝑥 ─ 4 (2𝑥^3 4𝑥^2 ‒ 6)(𝑥^2 ─ 1 ‒ 4(𝑥 1))
(2𝑥^3 4𝑥^2 ‒ 6)(𝑥^2 ‒ 1 ‒ 4(𝑥 1)) (2𝑥^3 4𝑥^2 ─ 6)(𝑥^2 ─ 4𝑥 3)
Таким образом, уравнение сводится к двум квадратным уравнениям⁚
(𝑥^2 ─ 1 ‒ 4(𝑥 1) 0 и 𝑥^2 ─ 4𝑥 3 0
Решая эти два уравнения, получим следующие значения переменной 𝑥⁚ 𝑥 2 и 𝑥 -1/2.3. Для решения данного уравнения необходимо сначала привести слагаемые к общему знаменателю. Умножим каждое слагаемое на 4𝑥^2 ─ 4𝑥 1⁚
1/2𝑥^2 𝑥 ─ 3/4𝑥^2 ‒ 4𝑥 1 (1/2𝑥^2 𝑥)(4𝑥^2 ‒ 4𝑥 1) ─ (3/4𝑥^2 ─ 4𝑥 1)(4𝑥^2 ‒ 4𝑥 1)
(1/2𝑥^2 𝑥)(4𝑥^2 ─ 4𝑥 1) ─ (3/4𝑥^2 ‒ 4𝑥 1)(4𝑥^2 ‒ 4𝑥 1) 4𝑥^2 ‒ 4𝑥 𝑥(4𝑥^2 ─ 4𝑥 1) ─ 3(4𝑥^2 ─ 4𝑥 1)
4𝑥^2 ─ 4𝑥 𝑥(4𝑥^2 ─ 4𝑥 1) ─ 3(4𝑥^2 ─ 4𝑥 1) 0
Применяя раскрытие скобок и сведение подобных слагаемых, получаем⁚
4𝑥^3 ─ 4𝑥^2 4𝑥^2 ‒ 4𝑥 𝑥 ─ 3(4𝑥^2 ─ 4𝑥 1) 12𝑥 ─ 12 0
4𝑥^3 𝑥 ─ 12𝑥 12 ─ 12𝑥^2 12𝑥 ─ 12 0
4𝑥^3 ‒ 12𝑥^2 𝑥 ─ 12 0
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые⁚
4𝑥^3 ─ 12𝑥^2 𝑥 ─ 12 0
Изначально я неправильно перераспределил члены уравнения, логически это пишется так⁚
4𝑥^3 ─ 12𝑥^2 𝑥 ─ 12 0
(𝑥 ‒ 2)(4𝑥^2 2𝑥 6) 0
Уравнение имеет два корня⁚ 𝑥 2 и корни квадратного уравнения 4𝑥^2 2𝑥 6 0.4. Для решения данного уравнения также необходимо избавиться от знаменателей. Умножим все части уравнения на 6𝑥^2 ─ 1⁚
16𝑥/(6𝑥^2 ─ 1) 𝑥√6 ‒ 1/(𝑥√6 1) 𝑥√6 1/(𝑥√6 ‒ 1)
Распределим слагаемые⁚
16𝑥/(6𝑥^2 ‒ 1) ─ 𝑥√6 1/(𝑥√6 1) 𝑥√6 1/(𝑥√6 ─ 1) 0
16𝑥(𝑥√6 ‒ 1)(𝑥√6 1) ─ (6𝑥^2 ‒ 1)(𝑥√6 1) ‒ (6𝑥^2 ─ 1)(𝑥√6 ─ 1) 0
16𝑥^3√6 ‒ 16𝑥 ‒ (6𝑥^3√6 ‒ 𝑥√6 6𝑥^2 ‒ 1) ─ (6𝑥^3√6 𝑥√6 ─ 6𝑥^2 1) 0
16𝑥^3√6 ‒ 16𝑥 ─ 6𝑥^3√6 𝑥√6 ─ 6𝑥^2 1 ‒ 6𝑥^3√6 ─ 𝑥√6 6𝑥^2 ‒ 1 0
16𝑥^3√6 ─ 6𝑥^3√6 ─ 16𝑥 𝑥√6 ‒ 𝑥√6 ‒ 6𝑥^2 6𝑥^2 1 ─ 1 0
10𝑥^3√6 ─ 10𝑥 0
10𝑥(𝑥^2√6 ‒ 1) 0
Таким образом, получаем два значения переменной 𝑥⁚ 𝑥 0 и 𝑥 ± √(1/𝑥^2√6).5. Для нахождения значений переменной 𝑥, при которых разность дробей равна 2/2𝑥−1, умножим обе части уравнения на (1 4𝑥)(8𝑥^3 ‒ 1)⁚
(1−𝑥)/(1 4𝑥) ‒ (62 2𝑥)/(8𝑥^3−1) 2/(2𝑥−1)
(1−𝑥)(8𝑥^3−1) ─ (62 2𝑥)(1 4𝑥) 2(1 4𝑥)(8𝑥^3−1)
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые⁚
8𝑥^3 ‒ 8𝑥^4 ─ 1 𝑥 ─ 62 ─ 124𝑥 ─ 4𝑥^2 ‒ 8𝑥^3 ─ 8𝑥^4 2 8𝑥 4𝑥^2 2(8𝑥^3 ─ 1)
Упрощаем уравнение⁚
-12𝑥^4 ─ 120𝑥 𝑥 ─ 61 16𝑥^3 ‒ 2
Меняем порядок членов⁚
-12𝑥^4 ‒ 120𝑥 𝑥 ‒ 61 ─ 16𝑥^3 2 0
Уравнение является пятой степени, его решение может быть сложным.