1. Точная верхняя и точная нижняя грани числовых множеств. Понятие последовательности. Ограниченность. Монотонные последовательности.
Когда я начал изучать числовые множества, я столкнулся с понятием точной верхней и точной нижней границ. Разобраться с этим понятием мне помогла понятие ограниченности. Если число является верхней границей для множества, это значит, что все элементы множества меньше или равны этому числу. Аналогично, если число является нижней границей для множества, это значит, что все элементы множества больше или равны этому числу.Понятие последовательности помогло мне лучше понять, как устроены числа внутри множеств. Последовательность ー это упорядоченный набор чисел, где каждое число является следующим для предыдущего. Выделение определенных последовательностей, таких как монотонные, помогло мне лучше понять их свойства. Монотонная последовательность ー это последовательность, в которой все числа удовлетворяют определенному условию⁚ либо все числа убывают, либо все числа возрастают.2. Понятие предела последовательности. Критерий Коши. Свойства сходящихся последовательностей.
Предел последовательности ー это число, к которому последовательность стремится. Изучение понятия предела помогло мне лучше понять, как последовательность ведет себя в бесконечности. Специальный критерий, известный как критерий Коши, позволяет определить, сходится ли последовательность или нет. Если для любого положительного числа существует такой номер элемента последовательности, начиная с которого все элементы находятся на расстоянии меньше этого числа от предела, то последовательность сходится.Сходящиеся последовательности обладают рядом интересных свойств. Например, если последовательность сходится, то все ее ограниченные подпоследовательности также сходятся к этому же пределу.3. Предельные точки числовых последовательностей. Верхний предел. Нижний предел. Примеры. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Одним из важных понятий при изучении последовательностей являются предельные точки. Предельная точка ー это точка, в которой последовательность имеет предел. Последовательность может иметь несколько предельных точек или вообще не иметь их.Верхний предел и нижний предел позволяют определить наибольшую и наименьшую предельные значения последовательности. Верхний предел ౼ это наибольшее число, которому последовательность стремится в пределе. Нижний предел ー это наименьшее число, которому последовательность стремится в пределе;
Одной из важных теорем, которую я изучил, была теорема Больцано-Вейерштрасса. Она утверждает, что из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.4. Предел функции в точке. Понятие непрерывной функции. Различные определения.
Переходя к изучению функций, я столкнулся с понятием предела функции в точке. Предел функции ー это значение, к которому функция стремится, когда ее аргумент стремится к определенной точке. Предел функции может быть конечным или бесконечным.
Непрерывная функция ౼ это функция, у которой предел в любой точке равен значению функции в этой точке. Благодаря непрерывности функции, можно гарантировать, что ее график имеет непрерывную кривую без разрывов или пропусков.
Определение непрерывной функции зависит от контекста. Например, функция может быть непрерывной в точке по Хайне, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке для любой последовательности, сходящейся к этой точке.5. Свойства пределов функций в точке и простейшие свойства функции, непрерывной в точке.
Предел функции в точке обладает несколькими свойствами. Например, предел суммы или разности функций в точке равен сумме или разности пределов этих функций. Аналогично, предел произведения функций равен произведению пределов этих функций.
Функция, непрерывная в точке, также обладает рядом свойств. Непрерывная функция может быть использована без перебрасывания предела и обладает свойством сохранения порядка.6. Сравнение и классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин. Виды неопределенностей.
Изучая материал про бесконечно малые и бесконечно большие величины, я научился классифицировать их по их росту или убыванию. Бесконечно малая величина ౼ это такая величина, которая стремится к нулю при стремлении аргумента к какой-то точке. Бесконечно большая величина ౼ это такая величина, которая стремится к бесконечности при стремлении аргумента к какой-то точке.
Неопределенности возникают в тех случаях, когда невозможно однозначно определить значение функции или предела, например при делении на ноль или вычитании бесконечной величины из бесконечной величины.
В результате изучения этих тем, я получил более глубокое понимание числовых множеств, последовательностей, пределов и непрерывности функций. Эти знания помогли мне лучше понимать математическую анализ и его применение в различных областях.