1․ В треугольнике KLM отмечены точки P и Q – середины LN и LM соответственно, при чем LP 7 см, QM 5 см, PQ 7,5 см․ Найдите периметр треугольника KLM․
Для начала, давайте найдем длины отрезков KL, LM и LN․ Так как P ― середина LN, то LP NP, что значит, что LN 2 * LP 2 * 7 см 14 см․ Аналогично, QM MQ, поэтому LM 2 * QM 2 * 5 см 10 см․
Теперь, для нахождения периметра треугольника KLM, нам необходимо сложить длины всех его сторон․ Пусть периметр треугольника KLM равен Р․ Тогда Р KL LM MK․Так как KL LN NK и LN 14 см, а NK LM 10 см, то KL 14 10 24 см․Теперь подставим найденные значения в формулу периметра⁚
Р 24 см 10 см 20 см 54 см․
Ответ⁚ периметр треугольника KLM равен 54 см․2․ В треугольнике EFG проведена биссектриса FH, которая делит EG на отрезки 5 и 1,5, а EF 45․ Найти FG․
Для начала, обозначим длину отрезка FG как х․Так как FH является биссектрисой треугольника EFG, то говорит нам, что FH делит отрезок EG на две части, пропорциональные длинам FE и FG․
Так как FE FG GH и GH FH FG х (так как FH является биссектрисой), то FE 2 * х․ Из условия задачи известно٫ что EG делится на отрезки длиной 5 и 1٫5․ Так как EG FE FG٫ поэтому 45 2 * х х․ Приведя подобные слагаемые٫ получаем 45 3 * х․ Разделим обе части уравнения на 3 и получим⁚ х 45 / 3 15․ Ответ⁚ FG 15․
3․ В прямоугольном треугольнике АВС ( ÐС 90° ) проведена высота CH, АH 4 см, HB 16 см․ Найти высоту CH, катет АС, катет ВС, гипотенузу АВ, периметр D АВС, площадь D СНВ и D ACH․
Найдем высоту CH․ Так как AH и BH ― это катеты прямоугольного треугольника АВС, высота CH является его медианой из вершины C на гипотенузу AB․ А так как медиана делит гипотенузу пополам, то высота CH равна половине HB 16 / 2 8 см․
Теперь посмотрим на катеты АС и ВС․ Катет АС равен сумме AH и CH, то есть 4 см 8 см 12 см․ Катет ВС равен разности HB и CH٫ то есть 16 см ― 8 см 8 см․ Гипотенуза АВ находиться по теореме Пифагора⁚ AB^2 AC^2 BC^2․ Так как AC 12 см и BC 8 см٫ AB^2 12^2 8^2 144 64 208․ Извлекаем корень из обеих частей уравнения⁚ AB sqrt(208) ≈ 14٫42 см․ Теперь найдем периметр треугольника АВС․ Периметр равен сумме длин всех сторон⁚ AB AC BC 14٫42 см 12 см 8 см 34٫42 см․ Чтобы найти площадь треугольника٫ мы можем использовать формулу⁚ S (AC * CH) / 2 (12 см * 8 см) / 2 48 кв․ см․ Теперь посмотрим на треугольник АCH․ Мы уже знаем длины его сторон⁚ AC 12 см и CH 8 см․ Чтобы найти гипотенузу AH٫ мы можем использовать теорему Пифагора⁚ AH^2 AC^2 CH^2 12^2 8^2 144 64 208․ Извлекаем корень⁚ AH sqrt(208) ≈ 14٫42 см․
Ответ⁚
— Высота CH равна 8 см․
— Катеты АС и ВС равны 12 см и 8 см соответственно․
— Гипотенуза АВ равна примерно 14,42 см․
— Периметр треугольника АВС равен примерно 34,42 см․
— Площадь треугольника СНВ равна 48 кв․ см․
— Гипотенуза АН равна примерно 14,42 см․
4․ В треугольнике KLM проведены медианы КЕ и MN, пересекающиеся в точке О․ Отрезки КЕ 18 см, ОМ 14 см, КМ 20 см․ Найти КО, ОЕ, NO, NM и периметр D KLM․
Давайте начнем с нахождения длины отрезка КО․ Поскольку КЕ является медианой, то КО 2 * ЕО․ Также, известно, что КЕ 18 см․ Тогда ЕО КЕ / 2 18 см / 2 9 см, а КО 2 * 9 см 18 см․
Также известна длина отрезка ОМ, который является медианой․ Так как МН также является медианой, то ОМ 2 * НМ․ Значит٫ НМ ОМ / 2 14 см / 2 7 см․Теперь давайте найдем длину отрезка ОЕ․ Опять же٫ поскольку КЕ является медианой٫ то ОЕ КЕ / 2 18 см / 2 9 см․Теперь٫ чтобы найти длину отрезка NO٫ нам необходимо вычесть длины отрезков КО и ОН из длины ОМ․
NO ОМ ― ОН ⎯ КО 14 см ⎯ 7 см ― 18 см -11 см․Ответ⁚
— Длина отрезка КО равна 18 см․
— Длина отрезка ОЕ равна 9 см․
— Длина отрезка NO равна -11 см (ответ не имеет физического смысла, так как длина отрезка не может быть отрицательной)․
— Длина отрезка НМ равна 7 см․
— Периметр треугольника KLM не может быть найден, так как некоторые стороны были заменены медианами и мы не знаем их длину․