а) Для решения этой задачи нам необходимо применить теорему Пифагора, которая гласит⁚ в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.У нас уже известны два катета⁚ `3` и `5`. Чтобы найти гипотенузу, мы должны возвести каждый катет в квадрат, а затем сложить полученные значения и извлечь квадратный корень⁚
`h^2 3^2 5^2 9 25 34`
`h √34`
Таким образом, третья сторона прямоугольного треугольника равна `√34`, что примерно равно `5.83`. б) Для определения острых углов треугольника нам нужно воспользоваться тригонометрическими соотношениями, чтобы выразить острые углы через известные стороны треугольника. В данном случае, у нас дано, что высота `h_c` к гипотенузе `c` равна `c/4`. Давайте обозначим острые углы как `A`, `B` и гипотенузу как `C`. Известно, что `h_c c * cos(A)`, где `cos` — косинус угла `A`. Также, гипотенуза `c` может быть представлена как `c h_c / cos(A)`.
Заметим, что `c/4 h_c / cos(A)`, так как `h_c c/4`.
Сокращая на `c`, получаем, что `1/4 1 / cos(A)`, или `cos(A) 4`.Таким образом, острый угол `A cos^(-1)(4)`, что примерно равно `75.96` градусам.Аналогично, можно определить острый угол `B`⁚
`sin(B) h_c / c 1/4`,
`B sin^(-1)(1/4)`٫ что примерно равно `14.48` градусам.
Таким образом, острые углы треугольника равны примерно `75.96` и `14.48` градусов.
в) Для доказательства свойства `AB^2-BC^2AD^2-DC^2` в четырёхугольнике `ABCD`, где диагонали `AC` и `BD` пересекаются в точке `O` под прямым углом, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора.Рассмотрим треугольник `ABC`, где стороны `AB`, `BC` и `AC` соответствуют сторонам четырёхугольника.В данном треугольнике, квадрат стороны `AC` равен сумме квадратов сторон `AB` и `BC`⁚
`AC^2 AB^2 BC^2`
Теперь рассмотрим треугольник `ADC`, где стороны `AD`, `DC` и `AC` соответствуют сторонам четырёхугольника.В этом треугольнике также верно, что квадрат стороны `AC` равен сумме квадратов сторон `AD` и `DC`⁚
`AC^2 AD^2 DC^2`
Таким образом, мы получили, что `AB^2 — BC^2 AD^2 ⎯ DC^2`, что и требовалось доказать.
Именно таким образом у нас получилось доказать важное свойство такого четырёхугольника `ABCD`.