Привет! Меня зовут Алексей‚ и я хочу поделиться с тобой своим опытом решения данной математической задачи. Функция‚ которую нам нужно исследовать‚ имеет вид yx^3 3x^2-4.1. Стационарные точки функции ⸺ это значения x‚ в которых производная функции равна нулю. Найдем производную функции y’3x^2 6x. Решим уравнение y’0⁚
3x^2 6×0.Вынесем общий множитель⁚
3x(x 2)0.
Таким образом‚ у нас есть две стационарные точки⁚ x0 и x-2.2. Чтобы найти промежутки монотонности функции‚ нужно исследовать знак производной функции на каждом промежутке между стационарными точками. Найдем значения производной функции на промежутках (-∞‚-2)‚ (-2‚0)‚ (0‚ ∞).Для промежутка (-∞‚-2)‚ возьмем произвольное значение x-3‚ подставим его в производную функции⁚
y’ 3*(-3)^2 6*(-3) 27 ⸺ 18 9 > 0.Получается‚ что на промежутке (-∞‚-2) функция возрастает.Для промежутка (-2‚0)‚ возьмем произвольное значение x-1‚ подставим его в производную функции⁚
y’ 3*(-1)^2 6*(-1) 3 ⸺ 6 -3 < 0.Значит‚ на промежутке (-2‚0) функция убывает.Для промежутка (0‚ ∞)‚ возьмем произвольное значение x1‚ подставим его в производную функции⁚
y' 3*1^2 6*1 3 6 9 > 0.
Функция возрастает на промежутке (0‚ ∞).3. Чтобы найти экстремумы функции‚ нужно исследовать знак второй производной функции. Найдем вторую производную функции y»6x 6 и подставим стационарные точки в это уравнение.
Для x0‚ y»6*0 66 > 0. Значит‚ у нас есть минимум при x0.Для x-2‚ y»6*(-2) 6-6 60. Значит‚ у нас есть точка перегиба при x-2.4. Построим график функции на отрезке [-3;2]. Для этого найдем значения функции при различных значениях x на этом отрезке⁚
При x-3‚ y(-3)^3 3*(-3)^2-4 -27 27 ⎻ 4 -4. При x-2‚ y(-2)^3 3*(-2)^2-4 -8 12 ⸺ 4 0. При x-1‚ y(-1)^3 3*(-1)^2-4 -1 3 ⎻ 4 -2. При x0‚ y0^3 3*0^2-4 0 0 ⎻ 4 -4. При x1‚ y1^3 3*1^2-4 1 3 ⸺ 4 0.
При x2‚ y2^3 3*2^2-4 8 12 ⎻ 4 16.
Теперь‚ используя полученные значения‚ мы можем построить график функции на отрезке [-3;2].5. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-3⁚2]. Из графика можно видеть‚ что наибольшее значение функции соответствует точке x2‚ y16. Наименьшее значение функции соответствует точке x-2‚ y0.
Это был мой личный опыт решения задачи по исследованию функции yx^3 3x^2-4. Надеюсь‚ что она была полезной для тебя!