Давайте решим задачу вместе. Предположим, что первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель прогрессии равен q.
Из условия задачи известно, что количество членов прогрессии кратно 6. Это значит, что общее количество членов прогрессии можно представить как 6n, где n ⸺ натуральное число.Теперь нам нужно использовать информацию о суммах членов с определенными номерами.
Сумма всех членов с номерами, кратными 3, можно вычислить по формуле⁚
S3 a a*q^3 a*q^6 ... a*q^(3n)
Зная, что сумма всех таких членов равна 216, мы можем записать уравнение⁚
S3 a*(1 q^3 q^6 ... q^(3n)) 216
Аналогично, сумма всех членов с номерами, кратными 6٫ можно вычислить по формуле⁚
S6 a a*q^6 a*q^12 … a*q^(6n)
Зная, что сумма всех таких членов равна 192, мы можем записать уравнение⁚
S6 a*(1 q^6 q^12 ... q^(6n)) 192
Теперь посмотрим на соотношение между S3 и S6. Заметим, что каждый член прогрессии, кратный 6, также является членом прогрессии, кратным 3. Это означает, что для каждого члена прогрессии, номер которого кратен 6, мы могли бы указать его в формуле для S3.Таким образом, можно записать следующее соотношение⁚
S3 S6 a*q^3 a*q^9 ... a*q^(3n)
Теперь мы можем выразить S6 через S3⁚
S6 S3 ⏤ a*q^3 ⸺ a*q^9 ⸺ ... ⸺ a*q^(3n)
Подставим эти значения в уравнение для S6⁚
a*(1 q^6 q^12 ;.. q^(6n)) 192
a*(1 q^3 q^9 ... q^(3n)) ⸺ a*q^3 ⸺ a*q^9 ⏤ ... ⏤ a*q^(3n) 192
Так как сумма прогрессий в правой и левой частях уравнения одинакова, можем упростить уравнение⁚
a*(q^6 ⏤ 1) 192
Выразим a через q⁚
a 192 / (q^6 ⏤ 1)
Теперь найдем общую сумму всех членов прогрессии. Сумма всех членов геометрической прогрессии равна⁚
Sn a * (q^n ⸺ 1) / (q ⸺ 1)
Где n ⏤ количество членов прогрессии. В нашем случае количество членов кратно 6, поэтому n 6n/6 n.Подставим выражение для a в формулу для Sn⁚
Sn (192 / (q^6 ⏤ 1)) * (q^n ⸺ 1) / (q ⸺ 1)
Таким образом, сумма всех членов геометрической прогрессии равна (нажмите Ввод чтобы увидеть ответ)⁚
Sn (192 / (q^6 ⸺ 1)) * (q^n ⏤ 1) / (q ⏤ 1)