Привет! Я расскажу тебе о том‚ как составить уравнения для различных геометрических фигур‚ используя данные точки. Данные точки A1 (6‚8‚2)‚ А2(5‚ 4‚ 7)‚ А3(2‚ 4‚ 7) и A4(7‚ 3‚ 7) помогут нам в этом.а) Плоскость А1А2А3⁚ для составления уравнения плоскости нам понадобятся три точки. Возьмем А1‚ А2 и А3. Обозначим их координаты как (x1‚ y1‚ z1)‚ (x2‚ y2‚ z2) и (x3‚ y3‚ z3)‚ соответственно. При условии‚ что плоскость проходит через эти точки‚ уравнение плоскости будет иметь вид⁚
(x ⎼ x1)(y2 ⏤ y1)(z3 ⎼ z1) (y ⎼ y1)(z2 ⎼ z1)(x3 ⎼ x1) (z ⏤ z1)(x2 ⎼ x1)(y3 ⏤ y1) 0
Заменяя значения координат точек‚ получим⁚
(6 ⏤ x1)(4 ⏤ 8)(7 ⏤ 2) (8 ⏤ 8)(7 ⏤ 2)(2 ⏤ 6) (2 ⏤ 2)(5 ⏤ 6)(7 ⎼ 2) 0
(-2)(-4)(5) (0)(5)(-4) (0)(-1)(5) 0
40 ⎼ 0 ⏤ 0 0
40 0
Уравнение получилось неверным‚ поэтому плоскость‚ проходящая через точки А1‚ А2 и А3‚ не существует.б) Прямая А1А2⁚ чтобы составить уравнение прямой‚ нам понадобятся две точки. Возьмем А1 и А2. Обозначим их координаты как (x1‚ y1‚ z1) и (x2‚ y2‚ z2)‚ соответственно. Уравнение прямой будет иметь вид⁚
(x ⏤ x1)/(x2 ⎼ x1) (y ⏤ y1)/(y2 ⎼ y1) (z ⎼ z1)/(z2 ⎼ z1)
Заменяя значения координат точек‚ получим⁚
(x ⎼ 6)/(5 ⎼ 6) (y ⏤ 8)/(4 ⎼ 8) (z ⎼ 2)/(7 ⏤ 2)
Уравнение получилось неразрешимым‚ так как знаменатель равен нулю. Это означает‚ что прямая А1А2 параллельна одной из координатных осей.в) Прямая А4М‚ перпендикулярная к плоскости А1А2А3⁚ чтобы составить уравнение прямой‚ нам понадобятся координаты двух точек. Возьмем А4 (7‚ 3‚ 7) и точку М (x‚ y‚ z). Так как прямая перпендикулярна плоскости А1А2А3‚ ее направляющий вектор будет перпендикулярен вектору нормали плоскости.Вектор нормали плоскости А1А2А3 можно получить как произведение векторов A1A2 и A1A3⁚
A1A2 (5-6‚ 4-8‚ 7-2) (-1‚ -4‚ 5)
A1A3 (2-6‚ 4-8‚ 7-2) (-4‚ -4‚ 5)
Вектор нормали плоскости равен их векторному произведению⁚
нормаль A1A2 x A1A3 (-1‚ -4‚ 5) x (-4‚ -4‚ 5)
(16‚ -9‚ 0)
Уравнение прямой А4М⁚
(7 ⏤ x)/16 (3 ⏤ y)/(-9) (7 ⏤ z)/0
Где у нас ноль в знаменателе? Правильно‚ в третьем отношении. Это значит‚ что третья координата z может быть любой.г) Прямая A3N‚ параллельная прямой А1А2⁚ чтобы составить уравнение параллельной прямой‚ мы можем выбрать точку A3 (2‚ 4‚ 7) и добавить к ней произвольные значения для направляющего вектора.Уравнение прямой A3N⁚
(x ⏤ 2)/(5 ⏤ 2) (y ⏤ 4)/(4 ⏤ 4) (z ⎼ 7)/(7 ⏤ 7)
Заметим‚ что здесь знаменатель равен нулю‚ так как вторые координаты точек A2 и A3 идентичны. Это значит‚ что прямая A3N параллельна плоскости xy.д) Плоскость‚ проходящая через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2⁚ чтобы составить уравнение плоскости‚ нам понадобятся точка А4 (7‚ 3‚ 7) и направляющий вектор прямой А1А2.Направляющий вектор прямой А1А2⁚
A1A2 (5-6‚ 4-8‚ 7-2) (-1‚ -4‚ 5)
Уравнение плоскости⁚
-1(x ⎼ 7) ⏤ 4(y ⏤ 3) 5(z ⎼ 7) 0
-x 7 -4y 12 5z ⏤ 35 0
-x ⏤ 4y 5z ⏤ 16 0
е) Вычисление синуса угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3⁚ сначала нам нужно найти векторное произведение векторов А1А4 и нормали плоскости А1А2А3. Затем вычислим модуль этого вектора.Вектор А1А4⁚
А1А4 (7-6‚ 3-8‚ 7-2) (1‚ -5‚ 5)
А1А4 x нормаль (1‚ -5‚ 5) x (16‚ -9‚ 0)
(-45‚ -80‚ -64)
Модуль вектора (-45‚ -80‚ -64) равен⁚ √((-45)^2 (-80)^2 (-64)^2) √9257
Синус угла между векторами можно найти с помощью формулы sinθ |Вектор1 x Вектор2| / (|Вектор1| * |Вектор2|)⁚
sinθ |(-45‚ -80‚ -64)| / (√9257 * √9257)
sinθ √((-45)^2 (-80)^2 (-64)^2) / 9257
f) Вычисление косинуса угла между плоскостью Оху и плоскостью А1А2А3⁚ чтобы вычислить косинус угла между плоскостями‚ мы можем найти скалярное произведение нормалей этих плоскостей и разделить его на произведение их модулей.
Плоскость Оху имеет уравнение z 0‚ поэтому ее нормальный вектор будет иметь координаты (0‚ 0‚ 1).Нормаль плоскости А1А2А3 мы уже вычислили в пункте (в) и получили вектор нормали (16‚ -9‚ 0).Косинус угла между векторами можно найти с помощью формулы cosθ (Вектор1 * Вектор2) / (|Вектор1| * |Вектор2|)⁚
cosθ (0*16 0*(-9) 1*0) / (√(0^2 0^2 1^2) * √(16^2 (-9)^2 0^2))
cosθ 0 / (√1 * √337)
cosθ 0 / (√337)
cosθ 0
Это означает‚ что плоскость Оху и плоскость А1А2А3 перпендикулярны друг другу.
Надеюсь‚ эта статья помогла тебе разобраться в составлении уравнений для различных геометрических фигур с использованием данных точек. Если у тебя остались вопросы‚ не стесняйся задавать их!